Produit scalaire canonique

vecteurs générateurs de E . Exemples : 1) {(1,0), (0,1)} est une base de IR 2 2) 3) 4) {1,0), (0,1), (1,1)} n’est pas une base de IR2 . {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} est une base de IR3 : on l'appelle la base canonique de IR3 . En général, {(1,0,L0),L, (0,L,1,L,0),L, (0,L,0,1)} est la base canonique de IR n . Théorème : Un système de vecteurs {u1 , L , un } est une base de E ssi tout vecteur de E s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs u1 ,L, un : (∀u ∈ E ) (∃!α1 ,L, α n

............................................................ 3 3. Le produit................................................................................................................................................ 3 La multiplication d’une matrice avec un scalaire............................................................................................ 3 Propriétés de la multiplication entre une matrice et un scalaire .....................................................................

particulièrement à la mise en place d’activités algorithmiques. CONTENUS Second degré Forme canonique d’une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant. Signe du trinôme. Étude de fonctions Fonctions de référence CAPACITÉS ATTENDUES Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d’une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d’un problème : développée, factorisée, canonique. COMMENTAIRES On fait le lien avec les représentations graphiques étudiées en classe de

n=2 (resp. n=3) on parle d'application bilinéaire (resp. trilinéaire). Exemple 5.2 (Forme bilinéaire canonique)   Soit E un K- espace vectoriel , son dual . L'application est bilinéaire. Théorème 5.3   L'ensemble des applications n-linéaires de dans F est un K- espace vectoriel noté . Remarque 5.4   Ne pas confondre et (l'espace des applications linéaires de l'espace vectoriel produit dans F). Travail 5.5   Soient E1, E2, E3 et F des K- espaces vectoriels . Pour , calculer f(x+y) et f(

module et argument d'un produit, d'un quotient. Représentation géométrique affixe d'un point, d'un vecteur. Notations Re, Im,Arg,.ei applications trigonométriques ( voir trigonométrie ) applications à l'étude des similitudes. Racine n-ième. Equation du second degré 2- Arithmétique numération décimale et binaire anneau Z sous- groupes de Z division euclidienne dans N et Z congruence, anneau Z/nZ nombres premiers, corps Z/pZ décomposition d'un entier naturel en produit de facteurs premiers PGCD

À l'usage des élèves de la classe * /  I G (Lecture déconseillée, en premier abords, aux élèves / ).. C 1 À la poursuite de celui qui détermine 1 I Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Formes n-linéaires alternées de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Déterminant d'un système de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Déterminant d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.4 Déterminant

unique endomorphisme f de n K tel que )(BMA f où B est la base canonique de n K , 2 Exemple 1: Etant donnés une matrice )(KnMA et un vecteur nv K non nul, comment vérifier que v est un vecteur propre de A ? Réponse : On calcule vA puis on cherche un scalaire K vérifiant vvA  . Soit               035 143 211 A la matrice associée à un endomorphisme f de 3 R par rapport à la base canonique B de 3 R . Montrez que le vecteur )1,1,1(v est un vecteur propre

..,~en} base de E .Mathématiques 3 (séance 7 ) Exemples • Soit ϕ : R2 −→ R3 telle que ϕ(~u) = ϕ(x,y) = (x +y,3x−5y,6x +8y). La matrice A représentant ϕ dans les bases canoniques de R2 et R3 a pour première colonne les composantes de ϕ(1,0) dans la base canonique de R3 et pour deuxième colonne celles de ϕ(0,1) dans la base canonique de R3. ϕ(1,0) = (1,3,6) = 1(1,0,0) +3(0,1,0) +6(0,0,1) ϕ(0,1) = (1,−5,8) = 1(1,0,0)−5(0,1,0) +8(0,0,1) A =  1 1 3 −5 6 8  RangA =Rangϕ =Rang{ϕ(1,0),ϕ(0,1)} =Rang{(1

D´termination e sym´trique. e des ´l´ments ee propres d’une matrice D´termination d’´l´ments propres pour des matrices de e ee grande dimension. M´thode de la puissance it´r´e. e ee c) Analyse Approximation du point fixe d’une application scalaire par R´solution d’´quations num´riques. e e e it´ration. e M´thode de Newton. e Approximation du point fixe d’une application vectorielle R´solution de syst`mes d’´quations num´riques. e e e e par it´ration. e M´thode de Newton. e R´solution approch´e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 (Mn,p (K), +, .) est un K-espace vectoriel . . . . . . . 3.1.3 Sous-espaces des matrices diagonales et triangulaires 3.1.4 Propriétés du produit matriciel . . . . . . . . . . . . 3.2 Représentations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Matrice colonne des composantes d’un vecteur . . . . 3.2.2 Matrice des composantes d’une famille de vecteurs . . 3.2.3 Matrice d’une application