Produit scalaire

Rn , on note (e1 , . . . , en ) la base canonique et on identifie le plus souvent une application linéaire et sa matrice dans la base canonique. Par ailleurs, on notera AT la transposée d’une matrice A. L’espace Rn est naturellement muni d’un produit scalaire canonique, noté ·, · , et défini pour deux vecteurs x, y ∈ Rn par x, y = xT y. Définition 1 (différentielle). Soient U un ouvert de Rn et a ∈ U . Une fonction f : U → Rp est dite différentiable en a s’il existe une application linéaire continue

et DIFJ est un parallélogramme. Pour établir que DIFJ est un losange, il suffit de démontrer que ses diagonales sont perpendiculaires, ce qui revient à démontrer que le produit scalaire DF . IJ = 0. Or DF (1; – 1 ; 1) et IJ (0; 1; 1). Donc DF . IJ = 0 – 1 + 1 = 0. Donc DIFJ est un losange. L’aire d'un losange est égale au produit des longueurs 2 2 2 2 2 2 DF IJ 3 2 6 1 1 1 0 1 1 des diagonales divisé par 2; l'aire de DIFJ est égale à = = = . 2 2 2 2 b. Pour vérifier que le vecteur n (2; 1; – 1) est

N il existe un entier premier p tel que n = 37p + 1. 1. Quel est le plus petit élément de E ? 2. Existe-t-il un élément n, de E, vérifiant 26800 < n < 27800 ? 4 points → → − − Soit E un plan vectoriel euclidien rapporté à une base a , b . (Le produit scalaire → → − − → → − − des vecteurs x et y de E est noté x · y ). Soit ϕ l’application de R dans E, telle que ∀x ∈ R, et ϕ sa dérivée. 1. Montrer que ∀α ∈ R, ϕ(α) et ϕ (α) constituent une base de E. 2. Pour tout réel t , décomposer ϕ(t ) dans une telle

sur ]-1,1[. Pour f et g éléments de E, on pose f , g = ∫ 1 −1 dt. 5. a) Soit h une fonction positive de E, montrer que si ∫ 1 −1 h(t ) 1− t2 d t = 0 alors h est la fonction nulle. b) Montrer que , définit un produit scalaire sur E. Ceci nous permet de définir une norme euclidienne sur E : pour tout élément h de E, on pose h 2 = h, h . 6. naturel n que la famille (T0 , T1 ,..., Tn ) est une base orthogonale (pour Calculer Tn , Tm selon les valeurs des

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ). (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ = ² = 1 Réponse c 3. ⃗⃗⃗⃗⃗ (1 ;0 ;1) ⃗⃗⃗⃗⃗ (0 ;1 ;1) sont 2 vecteurs non colinéaires. Ce sont donc des vecteurs de base du plan Il faut donc que le produit scalaire du vecteur normal au plan avec ces 2 vecteurs soit nul. A(0 ;0 ;0) : ce ne peut donc être l’équation a. Dans l’équation b : le vecteur normal est ⃗ (1 ;-1 ;1). Mais ⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 + 1 = 2 Dans l’équation c : le vecteur normal est ⃗ (-1 ;1 ;1)

. La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur donc . La fonction est continue sur et pour tout de . Donc pour tout entier naturel non nul , soit . b. Étudier les variations de la suite (In). Pour tout de donc par produit par puis . La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur donc , soit . Les fonctions et sont continues sur et pour tout de donc . La suite est décroissante et minorée par . c. En déduire que la suite (In) est convergente

équation cartésienne de (BC) Donc (BC) a pour équation réduite y=−x+5 Les coordonnées de F sont solutions du système {y=x+3 y=−x+5 ⇔{x=1 y=4 Donc F a pou coordonnées (1 ; 4) Exercice 3 Plusieurs méthodes sont possibles pour montrer que le produit scalaire ⃗PD . ⃗AQ est nul Dans tous les cas il faudra mettre en évidence les égalités de longueurs suivantes : Comme P et Q sont les projetés orthogonaux de M sur deux droites perpendiculaires en B , BPMQ est un rectangle et donc MQ=PB et PM=BQ Comme

l’algorithmique Second degré Fonctions de référence Dérivation Olivier Sidokpohou Claude Talamoni Alain Truchan Étude des variations d’une fonction Suites numériques – Généralités Suites arithmétiques et géométriques Géométrie plane Trigonométrie Produit scalaire Statistiques Probabilités Loi binomiale 9/02/11 15:25:46 page-titres-GF.indd 1 9/02/11 15:25:46 1. Programme officiel En Seconde, les élèves ont conçu et mis en œuvre quelques algorithmes. Cette formation se poursuit tout au long du cycle

de e e e e points dans un espace vectoriel ; les notions suivantes doivent ˆtre bien comprises e – vecteurs : produits scalaires, d´composition selon une base e – matrices : addition, multiplication, transpos´e, trace e – valeurs et vecteurs propres : d´finition, propri´t´s e ee – m´triques : d´finitions des distances dans un espace vectoriel par une norme, lien e e avec le produit scalaire Attention : les ´tudiants sont suppos´s maˆ e e ıtriser le calcul matriciel et la notion de valeur propre ; les

Chapitre 3 Les suites 28 Chapitre 4 Statistiques 37 Chapitre 5 Probabilités 44 Chapitre 6 Modélisation et échantillonnage 56 Chapitre 7 Trigonométrie 62 Chapitre 8 Géométrie plane 70 Chapitre 9 Produit scalaire et applications 87 Couverture et maquette intérieure : Nicolas Piroux Composition et schémas : APS-Chromostyle © Hachette livre, 2011 3 Repères 1re, Livre du professeur 1 Les fonctions de référence Programme officiel