Produit scalaire

E XERCICE 3 Commun à tous les candidats 4 points 1. On suppose qu’il existe une fonction f satisfaisant la condition (C) et on considère alors la fonction g définie sur R par g (x) = f (−x) f (x). a. La fonction est définie sur R : comme le produit f (−x) f ′ (x) = 1, aucun de ces deux nombres ne peut être nul : la fonction ne peut s’annuler sur R (et le graphe ne peut avoir de tangente horizontale). b. La fonction f étant supposée dérivable, g l’est aussi et g ′ (x) = − f ′ (−x) f (x)+ f (−x)

lin´aire par rapport ` sa seconde variable. De plus B(P, P ) ≥ 0 e e a et n’est nul que si ∀i ∈ [|0, n|], P (xi ) = 0. Si P ∈ Rn [X], on peut en d´duire que P = 0 (un e polynˆme non nul de degr´ n admettant au plus n racines). Ainsi, B est un produit scalaire sur o e Rn [X]. Le r´sultat est faux sur C(R, R) car P = n (X − xk ) ∈ C(R, R) est non nul mais v´rifie e e k=0 B(P, P ) = 0. 1.2. On a imm´diatement e 1 si k = j Lk (xj ) = δk,j = } 0 sinon On en d´duit que e ∀k, i ∈ [|0, n|], B(Lk , Li ) = Li

objectifs principaux de ce domaine sont, selon les spécialités : - consolider la vision dans l’espace ; - introduire la notion de vecteurs ; - introduire la trigonométrie ; - introduire la notion de produit scalaire et les nombres complexes dans le cadre du programme complémentaire. Les logiciels de géométrie dynamique sont utilisés pour conjecturer des propriétés ou pour augmenter la lisibilité des figures étudiées [pic] B. LA CONSTRUCTION

⋅ Ha2 + b2 iL = Ia1 a2 + b1 b2 i2 M + Ha1 b2 i + b1 a2 iL = Ha1 a2 − b1 b2 L + Ha1 b2 + b1 a2 L i La multiplication des nombres complexes est définie comme suit * la partie réelle du produit est égale au produit des parties réelles moins le produit des parties imaginaires; * la partie imaginaire du produit est égale à la partie réelle du premier multipliée par la partie imaginaire du deuxième plus la partie imaginaire du premier multipliée par la partie réelle du deuxième Pour z1 = a1 +

...................................................................13 1.10.1 Tube d’induction magnétique.............................................................................................................. 13 1.10.2 Potentiel magnétique scalaire.............................................................................................................. 13 1.10.3 Réluctance magnétique .......................................................................................................

Pourquoi est-elle diagonalisable? 4 Donner ses valeurs propres avec leur ordre de multiplicité. 5 Donner une base de vecteurs propres orthonormée. 3 6 R3 est muni du produit scalaire x y = ∑ i =1 xi yi . Soit f l'application de R 3 × R 3 dans R qui au couple ( x, y ) associe f ( x, y ) = x Ay . L'application f est-elle un produit scalaire? 7 Calculer les valeurs propres de l'ACP centrée de A en fonction des valeurs propres de A. 8 Les vecteurs propres normés de A et les axes principaux de l'ACP de

la courbe au point M (x(t), y(t)). Donc un vecteur directeur de la tangente à C1 en M1 (0) est :   8 − → x′ (0) − − → 3  − 1 = V (0)  √  V (0) ′ 8 3 y1 (0) 9 −→ − −−→ −− (c) Le vecteur V (0) est orthogonal au vecteur OM (0) car leur produit scalaire est nul :     4 8 −→ −−→ − −− x′ (0) x1 (0)  3   9 1 √  V (0) · OM (0) = · = √ · ′ 8 3 4 3  y1 (0) y1 (0) − 9 9 5 De la même façon, un vecteur directeur de la tangente à C1 en M1 (1) est :   8 − − → 3  − − → x′ (1) − 1 = V

sont naturellement liées: F j / i = DI−1 K et Fi / j = KDJ−1 Le produit scalaire de deux vecteurs u et v dans Rp pour la métrique du chi-deux est donné par le produit matriciel: u’. DJ−1 .v , à un facteur multiplicatif près, par suite l’inertie dans la direction du vecteur DJ−1 unitaire u du nuage des profils en ligne, pour la métrique précédente avec pour pondérations les totaux en ligne, est donnée, au même facteur près, par le produit matriciel: u ' DJ−1 Fj / i ' DI F j / i D −j 1u = u ' DJ−1 K '

Z 2 ez V = ( X 1 + X 2 )ex + (Y1 + Y2 )e y + ( Z 1 + Z 2 )ez 1.2.2 Produit scalaire S = V1 · V2 V2 S est un scalaire α Par définition S = V1 V2 cos α V1 où l’angle α est défini par α = (V1 ,V2 ). • Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul. • Pour les vecteurs unitaires ex , e y , ez on a : e x · e y = e y · ez = ez · e x = 0 e x · e x = e y · e y = ez · ez = 1 Expression cartésienne du produit scalaire S = (X 1 ex +Y1 e y + Z 1 ez ) · (X 2 ex +Y2 e y + Z 2 ez ) = X 1 X

Equiprojectivité du champ des moments     M A ⋅ AB = M B ⋅ AB ||AB|| Démo évidente ||AB|| Projections des moments sur la droite (AB) B MA MB A Animation mécamédia Le Torseur S2I Lycée Corneille T.CHIRLE ● Propriétés : invariant d'un torseur Le produit scalaire des éléments de réduction d'un même torseur ne dépend pas du point choisi pour le calculer. C'est un invariant du torseur.   R ⋅ M AA =   R ⋅ M AB Quelles que soient A et B Démo évidente S2I Lycée Corneille T.CHIRLE ● Le Torseur