Produit scalaire

quand tu tombes là-dessus, concentre toi bien et fais en sorte de ne pas bloquer la dessus. Cela vient avec l’entrainement. BONNE CHANCE, IL Y A UN PAQUET D’EXO A FAIRE + JE VEUX MON KEBAB SI T’AS PLUS DE 15 :D Chapitre 1 : Applications du produit scalaire et problèmes I- Equations de droites et de cercles – Cours Dans cette partie nous allons voir comment exprimer une droite ou un cercle dans un plan cartésien, c’est-à-dire avec des coordonnées x et y. L’équation d’une droite est de la forme

continuité des coordonnées du vecteur position. 4 Chapitre 4 : Cinématique en cordonnées cartésiennes Démonstration On utilise ici les relations de dérivations utilisées en mathématiques, généralisables aux vecteurs, le produit scalaire se comportant comme le produit classique. Comme OM = xi + y j + z k , on a : d OM d x i + y j + z k d x i d y j d z k dx di dy d j dz dk = = + + = i+x + j+ y + k + z dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt Les trois vecteurs i , j , et k étant constants, leur dérivée

vérifie zB '= ( 2 − 2i )( −4 + 2i ) + 1 = −3 + 12i = −3 ( 1 − 4i ) . b. Pour montrer que les droites (CB’) et (CA) sont orthogonales, il suffit de montrer que les vecteurs CB '−4 + 8i ) et CA ( 2 + i ) sont orthogonaux. ( Attention, pour parler de produit scalaire il faut revenir aux coordonnées cartésiennes. On a donc CB ' −4 8 2 1 1 5 et CA et on vérifie bien que CB ' = 0 . .CA Les droites (CB’) et (CA) sont bien orthogonales. 3. Soit M d’affixe z = x + iy où on suppose que x et y sont des

Chap 7 Courbes param´tr´es e e 1 Pr´liminaire : Fonctions ` valeurs vectorielles e a E2  R2 est muni du produit scalaire et de la norme usuels. D´finition. Soit I un intervalle de R. Soit f : I Ñ R2 e . On dit que f a pour limite t ÞÑ pxptq, y ptqq en a si et seulement si : }f ptq ¡ } ÝÝÑ 0 t  p 1, 2q Ña 1 2 Propri´t´. f tend vers e e en a si et seulement si : 6 8x t Rappel. On dit qu’une fonction est de classe C1 lorsqu’elle est d´rivable et que sa d´riv´e est continue

spécialité 5 points −−→ −−→ −−→ −−→ 1. a. On a AB (3 ; 2 ; −2), AC (0 ; 2 ; 1), d’où AB · AC = 0 + 4 − 2 = 2. − − → − − → On a AB2 = AB · AB = 9 + 4 + 4 = 17 ; donc AB = 17 ; −−→ −−→ AC2 = AC · AC = 0 + 4 + 1 = 5, donc AC = 5. b. On sait que le produit scalaire peut aussi s’écrire : −−→ −−→ AB · AC = AB × AC × cos BAC, soit : 2 2 = 17 × 5 × cos BAC ⇐⇒ cos BAC = ⇒ BAC ≈ 77 °. 85 c. L’angle BAC n’étant ni nul, ni plat, les points A, B et C ne sont pas alignés. 2. On a : (−2 ; 0 ; 1) vérifie 2x − y +

centrée, i.e. on a soustrait la moyenne de chaque variable au préalable. Ceci est fait de façon à faire coïncider le centre de gravité du nuage de points avec l'origine. Les projections des n observations sur le vecteur u1 sont données par: C=Xu1 (produit scalaire) La somme des carrés de ces projections (inertie) est: C'C=u1'X'Xu1 On choisira u1 de façon à maximiser cette dernière quantité. Le problème est donc: Maximiser u1'X'Xu1 sujet à u1'u1=1 Il s'agit d'un problème classique d'optimisation sous

Conjugué Inverse : z  x  iy   ei ; z  x  iy   ei ; z  z   z  z  ; zz   z  z  2 y 1 z z x 1   2  2 i 2  e i 2 z zz x y x  y2  z x 1 1 z z ; y  z z ; 2 2i zz  x 2  y 2  z Module et argument d’un produit, d’un quotient z  z     ei     ei     ei    zz   z  z  ; arg( z. z ')  arg( z)  arg( z ')[2 ] z  ei    ei   i  z   e  z z z  ; arg( )  arg( z)  arg( z ')[2 ] z z z' z n    ei

≤ 0, où lim ε(t) = 0, donc quand t tend vers 0, on obtient Qa (u) ≤ 0, donc Qa est négative. 1.2.3 Comme Qa est négative, alors ∂2f (a) = (Ha (ei )|ei ) = Qa (ei ) ≤ 0. ∂x2 i Où (e1 , e2 , ..., en ) désigne la base canonique de Rn et (.|.) le produit scalaire canonique. En particulier n ∂2f f (a) = (a) ≤ 0. ∂x2 i i=1 CNM2010IMPC.tex - page 1 t→0 1.3 Applications aux fonctions harmoniques 1.3.1 f est une fonction continue sur la partie compacte K, donc elle bornée et atteint ses bornes. 1.3.2

(et donc un code) par une base. Soit C un code lin´eaire. Une matrice g´en´eratrice de C est une matrice dont les lignes forment une base de C. Une matrice g´en´eratrice G est donc de taille k×n et de rang k. Si m est un vecteur ligne de Fk2 , le produit mG est un mot du code C et l’application m → mG est un isomorphisme de Fk2 sur C (que l’on peut voir comme une op´eration de codage). Si la matrice G est de la forme (I, P ), on dit que le codage est syst´ematique. Les k premiers bits d’un mot de

un plan. Les angles e e e a e µ e e e e e µ1 et µ2 su±sent a d¶crire complµtement l'¶tat m¶canique du systµme deux relations. Ensuite, le mouvement s'e®ectue dans un plan, ce qui fournit encore deux relations (par exemple en ¶crivant que le produit scalaire de la position avec la normale au plan est nul). Il e n'y a donc en fait que deux variables ind¶pendantes qui d¶crivent le mouvement. Un choix tout a fait e e µ naturel de coordonn¶es g¶n¶ralis¶es dans ce cas est de prendre les deux angles µ1