Produit scalaire

nous entoure et donc à mieux le représenter. 2) Les dimensions euclidiennes ou topologiques. La géométrie Euclidienne se traduit dans un espace euclidien qui par définition est un espace à une dimension finie, qui a des limites, muni d’un produit scalaire (opération algébrique s’appliquant au vecteur). La géométrie possède donc une dimension très vaste mais finie. Elle ne va donc pas plus loin (comme le dit sa définition) que la mesure d’angles et le calcul de distances. La dimension topologique

déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés. 2. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : 2x − y + 2z + 2 = 0. 3. Soient P 1 , et P 2 les plans d’équations respectives x + y − 3z + 3 = 0 et x − 2y + 6z = 0. (a) Calculer le produit scalaire AB · AC puis les longueurs AB et AC. #» #» #» #» #» 4. Démontrer que la droite D et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection. 5. Soit S la sphère de centre Ω(1 ; −3 ; 1) et de rayon r = 3

résumé ne comporte aucune démonstration complètement formalisée, néanmoins en ce qui concerne le point central que constitue la factorisation des fonctions des espaces de Hardy (pour le disque ou le demi-plan) en facteurs intérieur, extérieur et produit de Blaschke, on peut considérer que la preuve en est donnée ici avec toutes les indications nécessaires. Le cours a principalement porté sur l’étude des espaces H2 , H∞ , H1 , et N pour le disque unité et le demi-plan : rappels sur les notions de

Z 2 ez V = ( X 1 + X 2 )ex + (Y1 + Y2 )e y + ( Z 1 + Z 2 )ez 1.2.2 Produit scalaire S = V1 · V2 V2 S est un scalaire α Par définition S = V1 V2 cos α V1 où l’angle α est défini par α = (V1 ,V2 ). • Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul. • Pour les vecteurs unitaires ex , e y , ez on a : e x · e y = e y · ez = ez · e x = 0 e x · e x = e y · e y = ez · ez = 1 Expression cartésienne du produit scalaire S = (X 1 ex +Y1 e y + Z 1 ez ) · (X 2 ex +Y2 e y + Z 2 ez ) = X 1 X

usuelles de dérivation : dérivée d’une somme, de − → − → λ · f , de f ◦ g, auxquelles s’ajoutent de nouvelles règles : THÉORÈME . − → → g Soient f et − deux fonctions vectorielles dérivables sur I , on a : − → → − → − → → → • dérivée du produit scalaire : f · − g = f ·− + f ·− . g g . − → → − → → − → → • dérivée du déterminant : det( f , − ) = det( f , − ) + det( f , − ). g g g − → − → • dérivée de la norme : si f ne s’annule pas, f − − → → f · f = − → . f 7.2 Pour terminer cette partie

et (B, β) est le milieu du segment [AB]. On choisit souvent α = β = 1. On a alors + = . On obtient pour tout point M la forme vectorielle du « théorème de la médiane » dans le triangle ABM : + = 2 . En géométrie analytique ou avec le produit scalaire, on peut en vérifier les formes numériques : MA2 + MB2 = 2MI2 + et MA2 - MB2 = 2 . ou = 2 AB×IH où H est la projection du point M sur la droite (AB). Coefficients opposés : si α + β = 0 alors α + β = α ( - ) = α est un vecteur constant

vectoriel normé E telle que E = E1 ∪ E2 . Montrer qu’une application f : E → F est continue si, et seulement si, ses restrictions f1 et f2 au départ de E1 et de E2 le sont. Exercice 10 [ 02637 ] [correction] On note (. | .) le produit scalaire canonique sur Rn et . le produit scalaire associé. On rappelle l’inégalité de Cauchy-Schwarz : : si x, y ∈ Rn , (x | y) x y avec égalité si, et seulement si, x et y sont colinéaires et de même sens. a) Soit x, a, b ∈ Rn tel que a = b et x − a = x − b . Montrer que

Chapitre 9 ´ ´ ESPACES PREHILBERTIENS REELS ET COMPLEXES 1 Structure pr´hilbertienne e 1.1 Produit scalaire euclidien . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Exemples usuels d’espaces pr´hilbertiens r´els . . e e 1.3 Norme euclidienne sur un espace pr´hilbertien r´el e e 1.4 Espaces pr´hilbertiens complexes . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

produit scalaire (première) Produit Scalaire : Rappels et Applications I. Définition du produit scalaire Définition 1) Le produit scalaire de deux vecteurs Si ou alors On appelle carré scalaire et on note 2) En notant et non nuls est le réel, noté (ou ) défini par : le produit scalaire et H le projeté orthogonal de B sur (IA) : II. Calcul Quels que soient les vecteurs a) b) c) d) e) et les réels et : III. Orthogonalité IV. Vecteur normal Un vecteur non nul est dit normal à

1. Mesures des angles orientes Repérage d'un point sur le cercle trigonométrique Un cercle trigonométrique est un cercle orienté dans le sens direct et de rayon 1. (O ,  , ) est le repère orthonormal direct associé au cercle trigonométrique c de centre O. La droite d, i j tangente à c en A et munie du repère (A , ) représente l'ensemble des nombres réels. j définition : Pour un réel t repéré sur la droite d, on considère le point M que l'on obtiendrait sur le cercle c par "enroulement" de