Produit scalaire

fonction scalaire varie de U à U + dU avec dU = ∂U ∂U ∂U dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z Par définition dU = gradU • d ℓ avec gradU = ∂U ∂U ∂U x + y + z. ∂x ∂y ∂z Conclusion : Opérateur de dérivation permettant de définir un vecteur à partir d’une fonction scalaire U : gradU = ∂U x + ∂U y + ∂U z (cartésien) ∂x ∂y ∂z Exemples : Gradient de pression E = - gradV en électrostatique avec V le potentiel électrostatique 2 I.2 La divergence : Définition : Opérateur associant un scalaire à un vecteur

réseau de neurone, de l’extérieur X Vecteur d’intrant du réseau, ou d’une manière locale, vecteur d’intrant d’une couche du réseau. xi i-ème élément du vecteur d’intrant X Y Vecteur de sortie du réseau, ou d’une manière locale, vecteur de sortie produit par une couche du réseau. yi i-ème élément du vecteur de sortie Y wi Poids du i-ème intrant du neurone wi,j Poids sur le lien entre le neurone i et le neurone j Wi Vecteur de poids associé au neurone i W Matrice de poids, associée à une couche. f(

3-d :  Construction de Dürer 7 3-e :  Les étoiles de Compostelle 8 4.  Conjectures et démonstrations 8 4-a :  Autour de trapèzes (2°) 8 4-b :  Points remarquables dans le triangle & Droite d’Euler (2°) 9 4-c :  Ensemble de points et produit scalaire (1°S) 9 4-d :  Le parallélogramme tournant (2°) 10 5.  Lieux de points 10 5-a :  Avec des barycentres 11 5-b :  Avec des fonctions 11 5-c :  Approche géometrique d’une courbe connue (1°S) 11 5-d :  Approche géometrique d’une courbe

= −5k −4 = 2k , or ce système est impossible (trois valeurs de k diffé 1 = −7k rentes). Les points A, B et C ne sont pas alignés. → − b. le vecteur n (1 ; −1 ; −1) est orthogonal à AB car le produit scalaire est → − −−→ −3 + 4 − 1 = 0 le vecteur n (1 ; −1 ; −1) est orthogonal à AC car le produit scalaire est égal à −5 − 2 + 7 = 0. → − Donc le vecteur n (1 ; −1 ; −1) un vecteur normal au plan (ABC). c. Une équation du plan (ABC)est de la forme 1×x+(−1)×y +(−1)×z+d = 0, donc x − y − z + d = 0 or

aux lecteurs attentifs. Ce document est disponible sur mon site personnel : http://c.caignaert.free.fr Ce site contient également un cours complet de Spé TSI, tant en pdf qu’en html. Il a été écrit sous pdfLaTeX, une version spécifique de LaTeX qui produit directement des fichiers au format pdf. Ces fichiers ont l’avantage de s’afficher et s’imprimer correctement. Pour la présentation du document, on a redéfini quelques commandes LaTeX de base, comme « \section », la génération de l’index... Les extensions

EQUATION D’UN CERCLE DANS UN REPÈRE ORTHONORMAL Une application immédiate du produit scalaire est l’équation du cercle (mais en fait, Pythagore aurait suffi) : L’équation d’un cercle de centre I et de rayon R (R > 0) est IM = R où M (x; y) est un point courant sur le cercle. Comparer deux nombres positifs ou nuls équivaut à comparer leurs carrés, l’équation du cercle s’écrit aussi IM 2 = R2 ou −−→2 IM = R2( −−→ −−→ −→ Si I(a; b) et M (x; y), alors IM = OM − OI (Chasles 2) = x y ) ( − a b et

EQUATION D’UN CERCLE DANS UN REPÈRE ORTHONORMAL Une application immédiate du produit scalaire est l’équation du cercle (mais en fait, Pythagore aurait suffi) : L’équation d’un cercle de centre I et de rayon R (R > 0) est IM = R où M (x; y) est un point courant sur le cercle. Comparer deux nombres positifs ou nuls équivaut à comparer leurs carrés, l’équation du cercle s’écrit aussi IM 2 = R2 ou −−→2 IM = R2( −−→ −−→ −→ Si I(a; b) et M (x; y), alors IM = OM − OI (Chasles 2) = x y ) ( − a b et

placés dans un repère orthonormé de carreau 1 unité. i. Tracer les vecteurs ii. Représenter le point E, projeté du point B sur (AC). iii. Représenter le point F, projeté de B sur (AD). iv. Calculer . , , . à l’aide de la formule du produit scalaire. Les élèves sont invités à recopier l’encadré du théorème d’al-Khashi ou théorème de Pythagore généralisé avec la figure de la page 260 du livre de Mathématiques. 4. Quelles sont les forces que vous allez rencontrer cette année ? i. L’action

¼ ¼ ¼ · · ¼ π+x −x Ó×´ × Ò´ Ó×´ × Ò´ ¾ · ܵ  × ÒÜ Ó× Ü Ó× Ü Þ ½ ½e · ݾ 1.3.3 Formules d’addition e e     ܵ   Ó× Ü   ܵ × Ò Ü · ܵ   Ó× Ü · ܵ  × ÒÜ 1.1.3 ÞÞ Þ Þ ÞÒ ¼ ¼ Module et argument d’un produit, d’un quotient e e´ e e ¼ ´ · µ µ´   ¼ ¼ e ¼ µ µ e Ò ¼ e´ · µ ¼ Ò Ò ÞÞ ¬ ¬ ¬Þ¬ ¬ ¬ ¬Þ ¬ ¼ ¼ Þ Þ Þ Þ ¼ Ó×´ · µ Ó×´ × Ò´ Ó× ¾ × Ò¾ Ø Ò¾   Ó× Ó× ×Ò ×Ò Ó×¾ Ó× Ó× Ó× Ó×  ×Ò ·×Ò

AD . 4 4 D’où G = J. www.annabac.com © H A T I E R 2009 • Soit M un point du plan. On a d’une part MA – MC = CA . D’autre part, 2MA + MB + MD = 4MJ car J est le barycentre du système { ( A ; 2 ) ; ( B ; 1 ) ; ( D ; 1 ) } . Attention, le produit scalaire de deux vecL’égalité (1) teurs est un nombre ( 2MA + MB + MD ) . ( MA – MC ) = 0 (1) réel et pas un vecteur. est donc équivalente à 4MJ . CA = 0 . Par conséquent, l’ensemble des points M vérifiant l’égalité (1) est la droite perpendiculaire à