Propagande Limites

Limites et asymptotes A Limites et infini Soit f une fonction. 1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim f  x=∞ . ∞ On définit de manière similaire : lim f  x=−∞ ( f (x) devient inférieur à – A), • x ∞ • • x −∞ x −∞ lim f  x=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif) lim f  x=−∞ . Résultats à retenir

Donc pour t 2 [k; k + 1] f (t) f (k) donc Sn (x) f (t)dt et par passage à la limite 1 S(x) Z +1 f (t)dt 1 Les limites existent : Rn 1 – pour (Sn ) par convergence de la série : R n+1 – pour 1 f (t)dt car on a une suite croissante (f positive) majorée par S(x) p x dt t(1+tx2 ) = R n2 1 2xdu 1+u2 x2 = 2 [arctan(ux)]1 = 2 arctan(n2 x) Z +1 n2 2 arctan(x) . Donc en passant à la limite 2 arctan(x) 1 p x dt = t (1 + tx2 ) On a donc pour 1=2 : S(x) Z

U est continue en 0 (question I.2.3) et que x ! dénominateur non nul ) , +1 . donc N 1 X n=1 1 (n + x) 2 est continues en N (somme de frantions rationnelles à N , alors que 1 tend vers (N + x)2 1 (n + x) 2 + U (x + N ) admet une limite …nie en x = 1 (N + x)2 U (x) 5. 1. D’ après le calcul de dérivée au 3.2. on a U (x) = 0 x! N 2 1 < 0 pour x > (n + x)3 n=1 1; +1[ +1 X 1 . donc : U décroît strictementsur ] 2. soit 1 . La fonction (t + x)2 segment [n; n + 1]

abscisse. Autrement dit, pour tout x ≥ x1 , on a f (x) ≥ ax + b. Ceci prouve que lim+∞ f = +∞. Exercice 11 - Fonctions convexes admettant une asymptote - L1/Math Sup 1. Supposons qu’il existe un point x0 tel que f (x0 ) < 0. Par définition de la limite de f en +∞, appliquée à ε = |f (x0 )|/2, on peut trouver x1 > x0 tel que f (x1 ) > f (x0 ). D’après l’inégalité des pentes pour les fonctions convexes, on a, pour tout x ≥ x1 : f (x1 ) − f (x0 ) f (x) − f (x1 ) f (x1 ) − f (x0 ) ≤ =⇒ f (x) ≥ (x −

n. d) En déduire la limite de (u n ). un − 3 . un − 1 3 − vn . 1 − vn E XERCICE N°2 1. Restitution Organisée de Connaissances (5 points) a) Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle [a ; + ∞[. Compléter la phrase suivante : « Dire que f admet une limite finie en +∞ signifie . . . » b) Démontrer le théorème des gendarmes : « Si f , g et h sont trois fonctions définies sur un intervalle [a ; +∞[ et un nombre réel tels que les fonctions g et h aient pour limite commune quand x tend

IN par vn = exp(un) Prouver que si (un) est arithmétique alors vn est géométrique B. Résoudre sur [pic] l’équation suivante : [pic]. Exercice 3 (6 points). f est la fonction définie sur IR par f(x) = (x² ( 3x ( 3)ex a. Etudier les limites de f en (( et +(. b. Etudier les variations de f. c. Combien l’équation f(x) = 1 a-t-elle de solutions ? Exercice 4 (4.5 points). Montrer que pour tout réel x positif, ex−1 ≥ x. PARTIE DS Exercice 1 (8 points) On considère la fonction

Ch1 : Limites et continuité (TS) LIMITES et CONTINUITE I. LIMITES EN L’INFINI a) Limite infinie Par exemple, considérons la fonction f dont la courbe représentative est : Lorsque x s'en va vers +∞ ∞, f(x) devient de plus en plus grand. il n'a aucun maximum. On dit alors que f(x) tend vers +∞ ∞. Ou que la limite de la fonction f lorsque x tend vers +∞ ∞ est égale à +∞ ∞. Ce que l'on résume par : Définition : Dire que la limite de f en + G est + G signifie que f(x) devient de plus en plus grand dès

Chapitre 2 Limite d’une suite 1.  Page d’ouverture • Énigme ✱ L’épaisseur d’une feuille est de 0,01 cm. Si on plie la feuille une fois, l’épaisseur est alors 2 ¥ 0,01 cm. Si on plie encore une fois, l’épaisseur est égale à : 22 ¥ 0,01 cm = 22 ¥ 0,01 cm et ainsi de suite… ième pliage, l’épaisseur est donc égale à 2n ¥ 0,01 cm. Au n Prenons pour distance moyenne entre la Terre et la Lune d = 384 400 km = 3 844 ¥ 107 cm. On cherche la première valeur de n pour laquelle 0,01 ¥ 2n

valeurs de 2 ∗ ∗ ∗ temps t k −1 et t k , est voisin de v ( t k ) ∆t k = ( t k ) ∆t k , où t k ∈ [t k −1, t k ] . Le déplacement total sera donc voisin de la somme de tous ces déplacements. Le déplacement réel s’obtient par un passage à la limite. 10 10 0 n 0 Déplacement = lim ∑ v ( t ) ∆ t k = ∫ v ( t ) dt = ∫ t 2 dt n →∞ ∆ t k →0 k =1 ∗ k 10  d  t3  2   =t  dt  3  0 103 03 1000 = − = m 3 3 3 t3 = 3 © ERPI -6- ⇒  t3 est une

un=2n3n-n3n=vn-n3n. On en conclut que pour tout n, un≤vn. La suite v majore donc bien la suite u. En déduire la limite de la suite u. La suite u est minorée par la suite nulle, et majorée par la suite v. Or la limite de la suite v est 0 car c’est une suite géométrique dont la raison est comprise strictement entre -1 et 1. La suite u est donc encadrée par deux suites ayant pour limite 0. On en conclut, d’après le théorème d’encadrement, que limn→+∞un=0 Problème Soit (un) la suite définie