Quantile

intervalles de confiance, ce 2 1 qui permet d’encadrer l’erreur commise en remplaï¿ 2 ant E(g¯ ) par g¯ . Si N N 1 cette erreur est notï¿ 1 e n , alors pour un niveau de risque α donnï¿ 2 , on a : 2 σg | n | ≤ z 1−α √ 2 N 1 Le rï¿ 1 el z 1−α est le quantile de la loi normale centrï¿ 2 e rï¿ 1 duite. Par 2 2 2 exemple, au niveau de risque α = 5%, on trouve dans les tables z 1−α = 1, 96 2 σg et donc l’erreur est majorï¿ 1 e par 1, 96 √N . 2 Cette mï¿ 1 thode permet donc de quantifier l’erreur commise,

Mn |) z α avec : 2 k 2. pm ξ = 1+ p+m 2 pm( 2 pm − p − m ) k2 = ( p + m )2 .( p + m − 1 ) Avec runs est le nombre de blocs de même signe, p (resp. m) le nombre de terme positif (resp. z= runs − ξ − 0.5 négative) d’erreurs. z α est le quantile de la loi normale centrée réduite. 2 3 La valeur entre parenthèses représente la variance de l’estimateur 88 Chapitre IV Dynamiques des prix d’actifs sous un modèle de taux d’intérêt stochastique On étudier l’aléa de terme d’erreurs

risque, probabilit´ de ruine e e e e e O R´ assurance optimale e O Mod` les de valeurs extrˆ mes et lois de Pareto g´ n´ ralis´ es e e e e e O Estimation de l’indice de valeurs extrˆ mes : Pickands, Hill, Dekkers-Einmahle De Haan. Estimation de quantiles. ´ O Echange de risques Pr´ -requis e Cours “Valeurs extrˆ mes” et “Statistiques g´ n´ rales”. e e e Math´ matiques de l’assurance e Responsable : Christina Butucea Plan O Introduction : mod` le individuel, collectif, calcul des primes

qualité de l’estimation en l’absence d’experts • Méthode de groupe 6 5 4 3 2 1 1. Information au groupe sur l’activité 0 1j 2j 3j 4j 5j 2. Estimations individuelles 3. Histogramme des résultats présentés au groupe 4. Les participants des quantiles extérieurs expliquent leur vision En général, 3 itérations sont suffisantes 15/03/2010 Gestion de Projet Gestion de Projet 64 32 15/03/2010 Méthode « Des Trois Points" Estimation La durée est considérée comme une variable aléatoire distribution

de transfert). En ce qui concerne les savoir-faire applicables à des données quantitatives et aux représentations graphiques, le sujet peut nécessiter d’en utiliser certains (proportions, pourcentages de répartition, écarts et rapports inter quantiles, mesures de variation, représentations graphiques). 1.2. Prérequis et place de la séquence dans le traitement de la partie « Comment les pouvoirs publics peuvent-ils contribuer à la justice sociale ? » Pré requis Les élèves ont déjà abordé en

donn´ees ; montre une tendance centrale). La m´ediane Me est d´efinie par F (Me) = 1/2. Le mode M0 est la valeur xi t.q. P (x = xi ) soit maximale. b) indices de dispersion σ= V (x) mesure de l’´etendue du caract`ere x. Quantiles: ` a l ≥ 2 on associe l − 1 quantiles Q1 , . . . , Ql−1 t.q. F (Qj ) = j/l, j = 1, . . . , l − 1 m3 c) γ1 = 3 = indice de dissym´etrie σ (< 0 si x concentr´e ` a droite de x ¯, > 0 si x concentr´e `a gauche de x ¯) m4 d) γ2 = 4 − 3 = indice d’aplatissement

l’âge de l’auditoire. Le mode a des effets collectifs important, à l’inverse de la moyenne. Le mode donne l’idée de la majorité. Le mode marche avec tous les niveaux de mesure y compris l’échelle de mesure nominale. La médiane : aussi appelé le quantile  c’est ce qui permet de diviser une distribution en un nombre égale d’unité statistiques. La médiane divise la distribution en deux parts égales. En deca et au-delà de la médiane, on a le même nombre d’unités statistiques. Supposons qu’on soit

minimum, ou du maximum sur la période [0, T ]. Le payoff est alors de la forme (max{St , t ∈ [0, T ]} − ST ), Baabs (2000), Cheuk & Vorst (1997), Kat (1995), Vorst & Cheuk (1994) • les options sur quantile sont un rafinement des options lookback, où on considère non pas le maximum ou le minimum, mais un quantile prédéterminé. Le payoff est alors de la forme (qα {St , t ∈ [0, T ]} − ST )+ , Akahori (1995), Andrianjakaherivola & Russo (2001), Ballotta & Kyprianou (2001), Dassios (1995), Fujita (2000), Miura

continue par rapport ` µ si pour tout A ∈ A, l’´galit´ a e e µ(A) = 0 entraˆne ν(A) = 0 et on ´crit ν u}. Si U est de loi uniforme sur ]0, 1[, alors la fonction de r´partition de F ← (U ) est F . e Proposition 14 Si F ← est une fonction de quantile, elle est continue ` droite et admet a une limite ` gauche en tout point F . a 3.2 Vecteurs al´atoires e D´finition 24 Soit (Ω, A, P ) un espace probabilit´. On appelle vecteur al´atoire une vae e e d riable al´atoire ` vaeurs dans

Trois types de mesures : La courbe de Lorenz (Plus on s'éloigne de la bissectrice, plus la société est inégalitaire) Coefficient de Gini (Plus on se rapproche de 1, plus la société est inégalitaire) Calcul du ratio détenu par deux quantiles différents de la population (ex: part du revenu détenu par les 40% d'individus les plus pauvres et les 20% les plus riches). Plusieurs causes des inégalités : Les inégalités d'aptitude et de capacités Les discriminations II – Le poids