Racine carrée

Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Fonction carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Fonction inverse 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 La fonction racine carrée 5 2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2

Dans cet exercice on va s’intéresser aux variations de la fonction racine carrée f : x → 1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction racine carré ? √ x. 2. a) Soient a et b deux réels de [0; +∞[ tels que a < b. √ √ a−b √ . (on justifiera que le dénominateur est non nul) Montrer que a − b = √ a+ b b) Conclure sur le sens de variation de la fonction racine carrée. c) Tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée dans un repère. Exercice 13 Exercice avec prise d’initiatives

THEOREME DE PYTHAGORE * Vocabulaire : Dans un triangle , le côté qui est opposé à l’angle droit s’appelle l’HYPOTENUSE Les deux autres côtés sont appelés COTES DE L’ANGLE DROIT * Enoncé du théorème : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit. Si le triangle ( ABC ) est rectangle en A, alors d’après le théorème de Pythagore : BC2 = AB2 + CA2 * Applications – Calculs de longueurs : 1 ) Soit (

composée de deux fonctions de même monotonie est croissante sur . h(x) = x et g(x) = 1 – 3 x. b) sur I = [0 ; +∞[, f(x) = 1 – 3 x = g h( x) où Comme g affine de coefficient de degré 1 négatif alors elle est décroissante sur et comme h est la fonction racine carrée alors elle est croissante sur + . Ainsi, f composée de deux fonctions de monotonies opposées est décroissante sur Exercice 2 : 1/ g h( x) = ( x − 1)² = x − 2 x + 1 = x − 2 x + 1 = f(x). 2/ Soit x et x’ deux réels de [0 ; 1] tels que x ≤ x’. On

I lorsque, pour tout réel de l’intervalle I, le nombre dérivé de f en x existe. Par définition, la fonction dérivée f’ est la fonction qui à tout réel x de l’intervalle I associe f’(x), nombre dérivé de f en x. Exemple On considère la fonction carré, définie sur  par f(x) = x2. Soit a un nombre réel quelconque. La pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse a est 2a ; le nombre dérivé de la fonction f en a est f’(a) = 2a. La fonction f est donc dérivable sur  puisque le nombre dérivé

"Il y a des racines de tout' les formes Des pointues, des rond' et des difformes Cell' de la guimauve est angélique Et la mandragore est diabolique Il y a un Racin' qu'est un classique Mêm' s'il nous bassin' on n'y peut plus rien Mais la racine que j'adore Et qu'on extrait sans effort-eu La racine carrée c'est ma pré-fé-rée." Boris Vian et José Christian 1957 Une méthode très efficace pour calculer la racine carré de r est d'utiliser la suite récurrente u(n+1)= ( u(n)² + r) / (2*u(n))

+ 3 i racine carrée(3)/4 donc d + 1/2 = module de (d + 1/2) e i argument(d + 1/2) = (3/2) e i Pi/3 = (3/2) (1/2 + i racine carrée(3)/2) d'où d = -1 /2 + 3/4 + 3i racine carrée(3)/4 = 1/4 + 3 i racine carrée(3)/4 c) Déterminer un réel a vérifiant l'égalité (1 + 2ia)/ (1 - ia ) = 1/4 + 3 i racine carrée(3)/4 (1 + 2ia)/ (1 - ia ) = 1/4 + 3 i racine carrée(3)/4 équivaut à (1 + 2ia) 4 = (1 - ia) ( 1 + 3 i racinecarrée(3) ) équivaut à 4 + 8 ia = 1 + 3 i racine carrée (3) - ia - 3 i2 a racine carrée

diviser par 0) alors son domaine de définition est \ 0 • De même, la fonction 0 (la racine carré √ , n’est définie que pour d’un nombre négatif n’existe pas) donc son domaine de définition est [0 ; +∞[ • La fonction carrée) et non nul (pour l’inverse) donc son domaine de définition est : ]0 ; +∞[ Exercice 1 : Déterminer le domaine de définition de la fonction : √ n’est définie que lorsque est positif (pour la racine Fiches Méthodes Bien lire l’énoncé 2 fois avant de continuer Réponse : Méthodes

la racine carrée d’un nombre Stéphane Clément IREM Aix Marseille 1 Algorithme de Héron La calcul de valeurs approchées de nombres irrationnels est un type de problème qui peut être une raison d’être à de nombreux contenus mathématiques, de la classe de première S en particulier. Ce qui est présenté ci-dessous a été testé en classe ; la programmation par les élèves a été faite avec l’environnement Scilab. 1.1 Le principe mathématique Pour les mathématiques actuelles, rechercher la racine carrée

définie en 0 (puisque nous ne pouvons pas diviser par 0) alors son domaine de définition est ℝ\{?} • De même, la fonction ? ↦ √? , n’est définie que pour ? ≥ ? (la racine carré d’un nombre négatif n’existe pas) donc son domaine de définition est [0 ; +∞[ • La fonction ? ↦ ? √? n’est définie que lorsque ? est positif (pour la racine carrée) et non nul (pour l’inverse) donc son domaine de définition est : ]0 ; +∞[ Exercice 1 : Déterminer le domaine de définition de la fonction : ?(?) = 1 ?+3 Fiches