Racine carrée

et en déduire les équations des asymptotes à la courbe C. 3) Etudier la dérivabilité de f. 4) Etudier les variations de f. 5) Tracer les asymptotes à C puis la courbe C. 6) Vérifier à l'aide de la calculatrice graphique. 1) La fonction racine carrée est définie sur [pic] donc la fonction f est définie pour [pic]. On dresse le tableau de signe : |x |[pic] [pic] 0 [pic] | |2x |-

|]- ,0] | |Dans un repère (O ; );i), );j)), la courbe représentant la fontion x→ | | | | |est l’image de la courbe représentant la fonction racine carrée par la|a) -3 );i) |b) 3 );i) |c) 3 );j) | |translation de vecteur | | | | |Dans un repère

pour tout x de I, u(x) ≥ 0 . Les fonctions u et u ont le même sens de variation sur I. Démonstration : - u est croissante sur I et à valeurs positives signifie que pour tout réel a et b de I tels que a < b, on a 0 ≤ u(a) ≤ u(b) . La fonction racine carrée est croissante sur ⎡0;+∞ ⎡ donc on a : ⎣ ⎣ - La démonstration est analogue pour la décroissance. Méthode : Déterminer les variations d'une fonction à l'aide d'une fonction associée Démontrer que la fonction f définie par f (x) = 2x − 6 est croissante

USUELLES 1.3 Continuité des fonctions usuelles Propriété 1 : Admis • Les fonctions polynômes sont continues sur R. 1 est continue sur ] − ∞; 0[ et sur ]0; +∞[ x • La fonction valeur absolue x → | x | est continue sur R. √ • La fonction racine carrée x → x est continue sur [0; +∞[ • La fonction inverse x → • Les fonctions x → sin x et x → cos x sont continues sur R • D’une façon générale, toutes fonctions construites par opération ou par composition à partir des fonctions ci-dessus sont

équation de la droite de régression de z en x, obtenue à l’aide de la calculatrice, est : z = 2,15 x + 2,76. On a alors le graphique suivant : [pic] Question 4. On cherche x tel que y ( 900 . On a : y ( 900 ( ( 30 car la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; +([ ( − 3 ( 27 ( z ( 27 car z = − 3. ( 2,15 x + 2,76 ( 27 ( 2,15 x ( 24,24 ( x ( car 2,15 est strictement positif. Or, = 11,27 à 10−2 près. C’est

= f (a) + f (a)h + hε(h) avec lim ε(h) = 0. h→0 Or lim f (a)h = 0 et lim hε(h) = 0 donc lim f (a + h) = f (a), ce qui justifie que f est continue en a. h→0 h→0 h→0 Remarque : la réciproque de la propriété est fausse : la fonction racine carrée est continue en 0, mais elle n’est pas dérivable en 0. 1.4 dérivées successives Définition : f est une fonction dérivable sur un intervalle I. Sa fonction dérivée f s’appelle la fonction dérivée première (ou d’ordre 1) de f . Lorsque

. . . . . Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1re S1 - 1re S2 Bac Blanc Mathématiques – Novembre 2013 Page 1/4 Exercice 1. (1 point) Restitution Organisée des Connaissances Montrer que la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0; +∞[. Exercice 2. (1,75 point) Résoudre dans R les (in)équations suivantes : 1. (0,5 pt) |2x − 2| = 3 2. (0,5 pt) |2x − 2| = x + 1 |x − 2| <1 3. (0,75 pt) 3x Exercice 3. (1,5 points) Soit ABC un triangle non aplati

exponentielle est dérivable sur » et pour tous réels x : (ex)’ = ex Donc l’équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d’abscisse 1 à pour équation : y = e1(x – 1) + e1 = e.x 2. a. VRAI b. FAUX : la fonction racine carrée est continue en 0 mais pas dérivable en 0 c. VRAI 3. a. FAUX : Considérons pour tout entier naturel n les suites (un) et (vn) définies par : un = n3 et vn = – n2. On a alors un + vn = n3 – n2 = n2(n – 1). On a lim un = +∞ ; lim vn = −∞ et lim (un

Des activités algorithmiques doivent être réalisées dans ce cadre. Étude de fonctions Fonctions de référence x 7 x et x 7 x . • Connaître les variations de ces deux fonctions et leur repésentation graphique. Démontrer que la fonction racine carrée est croissante sur 60 ; + 3 6. Justifier les positions relatives des courbes représentatives des fonctions x 7 x , x 7 x 2 et x 7 x . • Exploiter ces propriétés pour déterminer le sens de variation de fonctions simples. Aucune technicité

DEVOIR DE MATHÉMATIQUES La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements constituent un objectif majeur pour les épreuves écrites de mathématiques et entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Problème (d'après Polynésie Juin 1997 ) Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x - 1 + (x2+ 2)e-x On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;,)  (unité graphique 2cm). Pour tout l'exercice on pourra admettre ou