Racine d'un polynôme

une réunion d’intervalles. 1) Les fonctions polynômes, sinus et cosinus sont définies sur ℝ . 2) La fonction inverse est définie sur ]−∞;0[ ∪ ]0; +∞[ . Si l’expression de la fonction présente un dénominateur, celui-ci doit être NON NUL. En conséquence, les fonctions rationnelles sont définies pour toutes les valeurs qui n’annulent pas leur dénominateur. π  π  La fonction tangente est définie sur  − + k π; + k π  , k ∈ ℤ . 2  2  3) La fonction racine carrée x → x est définie sur [ 0; +∞[ . Si

FONCTIONS TRINOMES OU FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE I- FONCTIONS TRINOMES 1- Définitions et forme développée : - On appelle fonction polynôme du second degré ou fonction trinôme toute fonction f définie sur IR par f (x )=a x 2+b x+c où a est non nul. - L'expression a x 2+b x+c est appelée polynôme du second degré ou trinôme. Exemples : fonctions f, g et h définies sur IR par : f (x )=3 x 2 – 2 x+1 ; g ( x)=( x+1)(3 x−1) et h( x)=( x+1)3 – (x−1)3 sont des fonctions trinômes.

peut écrire, pour tout réel x : −4x=x(x−4). Le polynôme −4x a donc pour racines 0 et 4. Il est positif à l'extérieur de ses racines : |x |-õ |0 | |4 |+õ | |−4x |+ |0 |- |0 |+ | L'expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle. On en déduit

grandeurs. Dans ce chapitre, nous allons découvrir qu'au fur et à mesure que l'on agrandit l'univers des nombres, de plus en plus d'opérations ont du sens. L'ensemble des nombres naturels Les nombres naturels permettent le dénombrement des éléments d'un ensemble : {0, 1, 2, 3, ...} N= Remarque Dans N, l'addition est interne1 et partout définie2, ce qui n'est pas le cas pour la soustraction : 3-2=1 2-3=? L'ensemble des nombres entiers Z = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...} L'ensemble

Polynômes factoriels On note ℝ [X ] la ℝ algèbre des polynômes réels en l’indéterminée X . Pour n ∈ ℕ , ℝ n [X ] désigne le sous-espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur à n . Pour tout polynôme P ∈ ℝ [X ] on pose ∆(P ) = P (X + 1) − P (X ) . Partie I 1.a Montrer que ∆ est un endomorphisme de ℝ [X ] . 1.b On suppose que P est un polynôme constant, préciser ∆(P ) . On suppose que deg P ≥ 1 , déterminer deg(∆(P )) . 2. Soit n ∈ ℕ∗ . On note ∆n la restriction de ∆

3ième méthode : Les opérations sur les DL de type addition, multiplication, division, composition Soit les fonctions f et g On suppose que ces 2 fonctions ont chacune un DL d’ordre n en 0 Soit P1 le polynôme tel que f ( x ) = P1 ( x ) + x n ε1 ( x ) (la partie régulière de f) Soit P2 le polynôme tel que g ( x ) = P2 ( x ) + x n ε 2 ( x ) (la partie régulière de g) On a : 1. ( f + g )( x ) = ( P1 + P2 )( x ) + x n ε3 ( x ) P1 + P2 est la partie régulière du DL d’ordre n de la fonction f +

Déterminer le module et l’argument des nombres complexes : ee Indication 2 Correction iα eiθ + e2iθ . et Vidéo [000013] Racines carrées, équation du second degré Exercice 5 Calculer les racines carrées de 1, i, 3 + 4i, 8 − 6i, et 7 + 24i. Indication Correction Vidéo [000027] Exercice 6 1. Calculer les racines carrées de 1+i √ . 2 En déduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8). 2. Calculer les valeurs de cos(π/12) et sin(π/12). 1 Indication

donc dérivable sur  et pour tout                                       Applications aux fonctions polynômes Propriété Toute fonction polynôme est dérivable sur  Exemple Soit P la fonction polynôme définie par :  On pour tout  ,  Où  Les fonctions u, v, t et w sont dérivables sur  et on a, pour tout                           On en déduit que la fonction polynôme P est dérivable sur                                 et pour tout  Produit de deux fonctions

Nombres Premiers ­ Un entier naturel n est premier si n 1 et s’il a exactement deux diviseurs positifs 1 et n. ­ D´composer un nombre entier en produit de facteurs premiers, c’est l’´crire sous la forme d’un e e produit de puissances de nombres premiers distincts. D´finitions : e Exemples : ­ 105 = 3 ¢ 5 ¢ 7. e 3 ¢ 5 ¢ 7 est la d´composition en produit de facteurs premiers du nombre 105. ­ 99 = 9 ¢ 11 = 32 ¢ 11 ­ 600 = 8 ¢ 3 ¢ 25 = 23 ¢ 3 ¢ 52 23 ¢ 3 ¢ 52 est la d´composition en produit de

termine toujours par une fonction Fonction définie par parties Fonction racine carrée Plusieurs fonctions f ( x ) = a b( x − h ) + k Recherche de la règle d’une fonction racine carrée Cela prend un sommet et un point quelconque. Le paramètre b est obtenu en fonction de l’orientation de la courbe. Isoler le x. Pour l’inéquation, tenir compte de la restriction sous le radical Résoudre équation et inéquation d’une fonction racine carrée Fonction valeur absolue Recherche de la règle d’une fonction