Racine d'un polynôme

EXERCICE 3 (4 points ) Commun à tous les candidats 1) Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x. a) Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, kn kk ≤ . n! k! b) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, x xn ≤ n! k n × kk . k! c) Montrer que : xn = 0. n→+∞ n! lim 2) a) Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, nn−1 ≥ 1. n! nn−1 comme un produit de n − 1 facteurs supérieurs ou égaux à 1). n

print"message" | print"La valeur de X est : " | Ecrire le contenu d'une variable X | print X | print X | Ecrire un message suivi du contenu d'une variable X | print"message",X | print"La valeur de X est : ",X | Saisir le contenu d'une variable X précédé d'un message. | X=input("message") | X=input("Saisir la valeur de X ") | Affectation : A prend la valeur 5 | A=5 | A=5 | Opérations : A+B A-B 2A 2/A A3

Application : coordonnées du milieu d’un segment Activité 2 : découvrir le langage algorithmique à partir de programmes de calcul simples ; ➢ introduire le calcul algébrique en classe de 2nde ; ➢ élaborer une démarche pour montrer l’égalité de deux expressions ; ➢ écrire un algorithme avec algobox ➢ programmer à l’aide de la calculatrice. Activité 3 : écrire un algorithme avec une condition « si ... alors ... sinon ... » ➢ un exemple avec la racine carrée  ➢ exercice : écrire

La racine carrée La racine carrée Classes de Troisième - Seconde Pour avoir des informations sur l’histoire du symbole racine carrée consultez la page www.math93.com/.../la-racine-carree I Définition Définition 1 (Racine carrée) La racine carrée de a est le nombre positif qui, élevé au carré, donne a. On la note Exemples. √ √0 = 1 = √ 4 = √ 9 = √ 16 = √ √25 = 36 = 0 1 car car 02 = 0 12 = 1 2 3 car car 22 = 4 32 = 9 4 5 6 car car car 42

2. 2. a) On procède par récurrence sur la rang n. - pour n = 0 , u0 = 1 vérifie bien 0 < u0 ≤ 2 - supposons que l’on a vérifié pour un certain entier n : 0 < un ≤ 2 on multiplie chaque membre par 2 > 0 : 0 < 2un ≤ 4 on utilise le fait que la racine carrée est strictement croissante : 0 < √ 2un ≤ 2 on en déduit 0 < un+1 ≤ 2, ce qui prouve que la propriété est héréditaire - on peut alors conclure que pour tout entier n , 0 < un ≤ 2 b) On démontre par récurrence que pour tout entier naturel

chaque réel par f est définie, existe. On dit aussi que ledomaine de définition de f est  : Malheureusement, toutes les fonctions ne sont pas aussi simples que celle-ci. Considérons maintenant une autre fonction relativement connue : La fonction racine carrée n'est définie que pour des nombres positifs, c'est-à-dire que  existe, mais que  n'existe pas. Vous pouvez le vérifier avec votre calculatrice : celle-ci devrait vous renvoyer un code d'erreur quelconque si vous tentez de lui faire calculer 

l'utilisateur.  Exercice 4 (3 points) partie A : restitution organisée de connaissances Prérequis : la suite diverge vers +∞ si tout intervalle du type ]A;+∞[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Démontrer que si et sont deux suites telles que à partir d'un certain rang et , alors Partie B Déterminer la limite de la suite Exercice 5 (4 points) On considère une suite définie sur ℕ dont aucun terme n'est nul. On définit alors la suite sur ℕ par Pour

Parties majorées, minorées, bornées . . . . . 4.1.6 Borne supérieure et borne inférieure dans R . 4.1.7 Partie entière d’un nombre réel . . . . . . . . 4.1.8 Densité de Q et de R \ Q dans R . . . . . . . 4.1.9 Droite achevée R . . . . . . . . . . . . . . . . Puissances à exposants entiers ou rationnels 4.2.1 Exposants entiers relatifs . . . . . . . . . . . 4.2.2 Racine n-ième d’un réel positif . . . . . . . . 4.2.3 Exposants rationnels . . . . . . . . . . . . . . Généralités sur les fonctions numériques

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a+h des réels de I, h≠0 . f (a+ h)− f (a) Le taux d'accroissement de f ente a et a+h est le rapport . h Remarque : Si f représente la position d'un point mobile en fonction du temps, le taux d'accroissement mesure la « vitesse moyenne » d'un point entre t = a et t = a+h. La vitesse instantanée sera donnée par la ''limite'' de la vitesse moyenne lorsque h deviendra très proche de 0. II. Nombre dérivé Activité 2 : En continuant l'exemple précédent

42  23  82  31  122    Hyperbole  domaine: ]­∞, ­4.59]  U [ 7.41, +∞[  image: IR  zéro: 9.48 et 2.52  ordonne origine:  ­5 et 17  Ø min ou max  Ø positif ou négatif  Ø croissance ou  décroissance  (x­6)²​  ­ ​ (y­6)²​  =1  1.97       7.03  Racine carrée  y=5√1(x­7) +2  domaine: [ 7, +∞[  image: [ 2, +∞[  croissante sur son  domaine  min: {2}  positif sur le domaine  Ø de zéro  Ø d'ordonnée origine              Quadratique  Domaine: IR  Image: [­294,∞[  Ordonnée origine:   ­240  Zéros: