Racine d'un polynôme

algorithme, on peut alors le tester sur un grand nombre d’exemples et ouvrir le débat sur le nombre de solutions d’une équation du second degré. A 32 + 10 ¥ 3 = 9 + 30 = 39 donc 3 est solution de l’équation x 2 + 10x = 39. B 1 Ici, le « nombre des racines » est 8. 8 8 = 4 ; 4 2 = 16 ; 16 + 20 = 36 ; ÷ÿ36 = 6 ; 6 – = 2 soit x = 2. 2 2 2 2 2 2 + 8 ¥ 2 = 4 + 16 = 20 donc 2 est solution de l’équation x + 8x = 20. 2 3 D’après le cours vu en Seconde, le sommet de la parabole d’équation y = ax + bx + c a

Kellendonk, Laurent Tournier Associés au cours de Stéphane Attal Année universitaire : 2008-2009 Université Claude Bernard Lyon 1 Année universitaire 2008-2009 Probabilités Feuille de TD 1 Dénombrement Exercice 1 Trois cartes sont tirées d'un jeu de 52 cartes. Calculer les probabilités des événements suivants : (i) Trois piques diérentes (vii) Trois as lorsque : (viii) Aucun as (ix) Trois cartes rouges (ii) Aucun pique (iii) Un pique et deux "non-piques" (vi) Trois cartes de familles (iv)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algorithme d'élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthode de résolution d'un système d'équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elimination Gaussienne 7 7 10 12 13 16 17 Systèmes homogènes d'équations linéaires 2 Eléments du calcul matriciel 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Quelques dénitions et opérations

s’accompagne d’une mobilisation éclairée et pertinente des logiciels de calcul formel. Équations Résolution graphique et algébrique d’équations. Mettre un problème en équation. Résoudre une équation se ramenant au premier degré. Encadrer une racine d’une équation grâce à un algorithme de dichotomie. Pour un même problème, combiner résolution graphique et contrôle algébrique. Utiliser, en particulier, les représentations graphiques données sur écran par une calculatrice, un logiciel.

faisant sur une période d’observation , la chronique est constituée par l’ensemble d’une succession d’état de variable aléatoire , cette famille de variable aléatoire indexées par le temps porte le nom de processus aléatoire 1- Définition d’un processus aléatoire :« On utilise le terme de processus aléatoire pour décrire une quantité variable dont le comportement ne peut pas être exprime entièrement par une relation déterministe »Un processus aléatoire est une famille de variables aléatoires

. . 3 Impulsion de D IRAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Applications et conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Transformée de F OURIER d’une impulsion retardée . . . 3.1.2 Transformée de F OURIER d’un signal continu . . . . . . 3.1.3 Transformée de F OURIER d’une exponentielle complexe 3.1.4 Transformée de F OURIER des fonctions trigonométriques 3.1.5 Transformée de F OURIER de la fonction Signe . . . . . . 3.1.6 Transformée de F OURIER de l’échelon

n   2/n 2 En développant le membre de gauche et en arrangeant un peu, on a : lim  −  = 1. n →+∞ n  vn 2 2/n Comme lim = 0 , on trouve : lim =1. n →+∞ n n →+∞ v n Ceci implique : 2 vn ~ +∞ n On obtient donc : lim 2 . +∞ n 2 1 Par définition d'un équivalent, on obtient : 1 − un = + o( ) +∞ n n On peut alors écrire : 2 1 un = 1 − + o ( ) +∞ n n c) Par définition de vn , on en déduit : 1 − un ~ 3) a) Il suffit de "coller" à la définition de la suite ( un ). Function u(n : integer) : real ;

en général et de voir (ou revoir) certaines propriétés et définitions. a. Ensembles et éléments : notions essentielles Donner une définition d’un « ensemble » au sens mathématique n’est pas le plus aisé : les encyclopédies indiquent en général qu’il s’agit d’une « collection d’éléments ayant des propriétés en commun » : ensemble des diviseurs d’un nombre, ensemble des nombres négatifs… Un exemple sera plus parlant. Soit E un ensemble formé par 4 éléments. On peut le représenter de la façon

Codes Détecteurs et Correcteurs Exemples : — Code de Hamming — Codes linéaires — Codes polynomiaux — Turbocodes 4.i Exemple des Codes Polynomiaux On identifie une suite de bits avec un polynôme P( X ) de F2 [ X ]. La séquence de contrôle correspond au reste de la division euclidienne de X k P( X ) par un polynôme (particulièrement) bien choisi Q( X ) de degré k. Ainsi les mots du codes sont exactement les multiples de Q( X ). On a X k P( X ) = U ( X ) × Q( X ) + R( X ) donc X k P( X ) + R( X ) =

  = 196   3 cm . 3 x ×x 3 2 h’ × x 2 = x cm2 = aire de chaque part = 2 2 4     ce qui donne x2 = 392 d’où x ≈ 19,8 cm. L’âge de mon petit fils est 20 ans. • Énigme ✱ ✱ On note h la fonction de degré 2 qui donne la position d’un point de l’arc parabolique en fonction de la distance de la rive. La portée et la hauteur de l’arc parabolique permettent d’obtenir l’écriture de la forme canonique : 200 2 h (x) = a  x –  + 80. 2 2 Or h (0) = 0 donc a × 100 + 80 = 0 donc