Racine d'un polynôme

l’espérance de yt, qu’on notera µ, � Avant toute chose, vérifions la stationnarité de ce processus AR(2). On peut écrire yt comme suit yt − ϕ2yt−2 = α + ϵt (1− ϕ2L 2)yt = α + ϵt A(L)yt = α + ϵt, notons que le polynôme A(L) = 1 − ϕ2L 2 possède comme racine ± 1√ ϕ2 . Sachant que |ϕ2| < 1, les deux racines sont à l’extérieur du cercle unité par conséquent le processus AR(2) est stationnaire. Ainsi, pour tout t l’espérance de yt est la même. D’où

01110 ] [correction] On note R(N) l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang. a) Montrer que R(N) est un sous-espace vectoriel de ∞ (R). b) Est-il ouvert ? c) Est-il fermé ? Exercice 8 [ 01111 ] [correction] Montrer que l’ensemble des polynômes réels de degré n scindés à racines simples est une partie ouverte de Rn [X]. Exercice 9 [ 01112 ] [correction] Soient E1 et E2 deux parties fermés d’un espace vectoriel normé E telle que E = E1 ∪ E2 . Montrer qu’une application f :

+ 6x + 12 r (x) = 2 . x − 6x + 12 En comparant r (x) avec les valeurs exactes de l’exponentielle en x = 0,2 et en x = 0,1, déterminer l’ordre de cette approximation. Référence: A. Fortin, chap. 1, no. 30 [Indice] [Solution] [TdM ] 4. En se servant d’un développement de Taylor de la fonction arctan x autour de x0 = 0, on a obtenu les résultats suivants :  arctan(0,4) = 0,380 714 667, erreur absolue = 0,208 29 × 10−3 ; arctan(0,1) = 0,099 668 667, erreur absolue = 0,141 80 × 10−7 . Quel est l’ordre

11. Synthèse des correcteurs par placement des pôles 1 11.1. Méthode de « Zdan » 11.1.1. Problème à résoudre 11.1.2. Calcul du correcteur C(x) 11.1.3. Exemple 11.1.4. Suppression des oscillations cachées 11.1.5. Conception d’un correcteur stable 11.2. Régulateur « RST » 11.2.1. Principe de la méthode et hypothèses 11.2.2. Précision en boucle fermée 11.2.3. Simplification des zéros 11.2.4. Choix du modèle à poursuivre 11.2.5. Résolution de l’identité de Bezout (equation diophantine) 11.2.6.

seulement si l ∈ )) 4. Soit I le point d'intersection des droites ) et ). Démontrer que : a. I ne dépend pas de la position de M du point M sur ) b. IM = l 5. a. En déduire une construction géométrique d'un point M à la règle et au compas, pour l ∈ )) NOM et PRENOM : ……………………........................................ S 1 ? S 2 ? (Entourez) Exercice 5 (environ 4,5 points) : On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal

.....................139 2.Comment montrer qu'une suite u n  est géométrique ?................................................140 3.Comment exprimer u n en fonction de n ou, plus généralement, comment exprimer un terme d'une suite en fonction d'un autre ?.................................................142 4.Comment compter le nombre de termes dans une somme de termes consécutifs d'une suite ?.................................................................................................

DEGRE I. FONCTIONS POLYNOMES 1° Définitions Une fonction polynôme est une fonction P de ℝ dans ℝ définie par : P(x) = a n x n + a n -1 x n -1 + ... + a 1 x + a 0 Les nombres a0, a1, ... , an sont des nombres réels appelés les coefficients de P. Un polynôme est nul pour tout x si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Le plus grand entier n tel que an ≠ 0 est appelé le degré de P. On le note deg (P). On dit alors que P est de degré n. 2° Egalité de deux fonctions polynômes P = Q signifie

. . . . . . . . . . . . 4.2.8 Moyenne mobile paire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Notion de ’bruit blanc’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Transformation d’un bruit blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Les procédures X11 et X12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Un algorithme simple de désaisonnalisation . . . . . . . . . . . . .

tan x 4°/ Cas des fonctions composées Si f et g sont dérivables et si la fonction fog est définie, elle est dérivable et ( fog ) ′( x ) = f ′ g ( x ) g ′ ( x ) . b g 5°/ Dérivées d’ordre supérieur Il peut être utile de calculer la dérivée nième d’un produit de deux fonctions n fois dérivables, ce calcul se fait en utilisant la formule de Leibniz : bfg g (n ) k =n ( x ) = ∑ C nk f k =0 (k ) ( x ) g ( n − k ) ( x ) avec la convention habituelle f (0) (x ) = f (x ) . Les nombres C nk sont

la modélisation que l’on doit adopter. En règle générale, si l’on s’en tient notamment à la méthodologie de Box et Jenkins, si la série étudiée est issue d’un processus stationnaire, on cherche alors le meilleur modèle parmi la classe des processus stationnaire pour la représenter, puis on estime ce modèle. En revanche si la série est issue d’un processus non stationnaire, on doit avant toutes choses, chercher à la ”stationnariser”, c’est à dire trouver une transformation stationnaire de ce processus