Racine d'un polynôme

DESIGN PRODUIT-ESPACE 1 SOMMAIRE 1. Calcul d’aires et volumes …………………………………………………...... 3 2. Fractions, puissances, racines carrées, équations …………………………....9 3. Droites dans le plan …………………………………………………...............23 4. Vecteurs dans le plan ………………………………………………........…...28 5. Relations dans le triangle – Pythagore – Thalès ………………………....….34 6. Fonctions polynômes et homographiques ……………….…………….....….42 7. Fonction logarithme et exponentielle …………………………………...……56 8. Fonctions circulaires

ABCD est un trapèze rectangle de bases parallèles [AD] et [BC] tel que CD = 10, BC = 6 et AD = 8. 1) Construire sur la figure ci-dessous, le point M tel que M  [CD] et AM = BM. 2) Calculer AM. A B D C CORRIGE Exercice 1 : 1) g est une fonction polynôme du second degré forme ax²+bx+c . a = –1 < 0 donc le sens de variation de g est du type croissant/décroissant. De plus b 8 b   4 et f ( )  f (4)  16 . 2a 2 2a  x Donc, d’après le cours, g a pour tableau de variation : Variation de g

TrigoFACILE — http://www.trigofacile.com/ 2 A A.1 Structures fondamentales Éléments de théorie des ensembles Notions – Les tables de vérité de ¬, ∧, ∨, ⇒ et ⇔ ; la relation (A ⇒ B) ⇔ (¬A ∨ B). – L’inclusion, la complémentarité, les parties d’un ensemble, l’intersection et la réunion, avec leurs propriétés élémentaires (comme les lois de de Morgan). – La différence entre une application (E = Df ) et une fonction (E ⊂ Df ). – L’ensemble F(E, F ) = F E des familles indexées sur E à valeurs dans

 http://www.bibmath.net 1 ´ Exercices - Reduction des endomorphismes : ´nonc´ e e Exercice 5 - Trigonalisation - sans indication - L2/Math Sp´ e Trigonaliser la matrice suivante : 1 4 −2   A =  0 6 −3  . −1 4 0   Exercice 6 - Racine cubique - L2/Math Sp´ e −5 3 . Montrer que A est diagonalisable et calculer ses valeurs propres. 6 −2 En d´duire qu’il existe une matrice B telle que B 3 = A. e Soit A = Exercice 7 - Application ` des  a suites r´currentes - L2/Math Sp´ e e 

linéarité de l’intégrale : 0+∞λf+ μgte-pt dt=λ0+∞fte-ptdt+μ0+∞gte-ptdt En conclusion : ------------------------------------------------- Lλf+ μgt=λLf(t)+μLgt b) Amorti Soit λ un réel et f une fonction causale, on appelle amortie de f d’un facteur λ, la fonction définie par gt= ft.e-λt On retiendra que la transformée de ft.e-λt est F(p+λ) c) Retard Soit t0 un réel, et f une fonction, on appelle retardée de t0 de la fonction f la fonction g définie par g(t)=f(t-t0) On retiendra

MATIÈRES AVANT-PROPOS IX CHAPITRE 1 : NOTION DE SYSTÈME I I-1 I-2 I-3 I-4 PREMIÈRES DÉFINITIONS Système et fonction Notion de point de vue Interactivité de systèmes Structure d’un système - analyse descendante 1 1 2 4 4 II II-1 II-2 II-3 REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES D’UN SYSTÈME Bloc fonctionnel Interactivité de systèmes D’un outil de description à un outil de simulation 5 5 7 7 III III-1 III-2 III-3 III-4 PILOTE AUTOMATIQUE NAVICO POUR VOILIER À BARRE À ROUE Description générale du système Analyse

Exercices Variables aléatoiresExercices Variables aléatoires Correction 1 Une video est accessible 1. L'urne contient : cinq boules blanches représentant un gain de 1e ; deux boules rayés représentant un gain de 2e ; deux carrés blanc représentant un gain de 2e ; deux carrés rayés représentant un gain de 3e. La variable aléatoire X associant le gain pour chaque objet de l'urne donne les valeurs 1, 2 et 3. Elle admet pour loi de probabilité : x 1 2 3 P ( X=x ) 5 11 4 11 2 11 2. L'urne contient :

ar(aY ) + 2Cov(X, aY ) = V arX + a2 V ar(Y ) + 2aCov(X, Y ) par la Propriété 1 ≥ 0. (3.1) Le polynôme du second degré en a étant de signe constant, son discriminant est négatif ou nul : 4 (Cov(X, Y ))2 − 4V ar(X)V ar(Y ) ≤ 0, d’où l’inégalité recherchée. Remarquons au passage que le cas d’égalité se produit lorsque le discriminant de l’équation (3.1) est nul. Dans ce cas, l’équation admet une racine double : a = − = 2Cov(X, Y ) Cov(X, Y ) =− . 2V ar(Y ) V ar(Y ) − σX σY σX σY si Cov(X, Y )

ordonnée est f (2) = – 2. 2    1. 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 2. D1 = 0 D2 = 1 D3 = – 8 3. f(D1) = 1 ; f(D2) = 2 ; f(D3) = 0 4. Si D désigne le discriminant d’un polynôme P de degré 2 alors f(D) est le nombre de solutions réelles de l’équation P(x) = 0. 5. a = 1, b = 0, c = 2, P(x) = x2 + 2 qui n’admet aucune racine réelle. Son discriminant est effectivement – 8. 0,5 1 – 0,5 1  1 O –1 2. Graphiquement, L’équation f(x) = 0 admet une seule solution a dans

z x + y x + y + z  ,B = 1 0 1  , 1 1 0  , 2 1 2  ,B′ = 1 2 0  ,  0 1 −1  , 1 3 0  � 3 Applications et exercices plus sophistiquées. Exercice 11. Applications à la chimie Equilibrer les réactions suivantes à l’aide d’un système linéaire. 1. NaCl +BeF2 −−&gt; NaF+BeCl2 2. Fe +Cl2 −−&gt; FeCl3 3. KMnO4 +HCl −−&gt; KCl +MnCl2 +H2O+Cl2 4. K4Fe(CN)6 +H2SO4 +H2O−−&gt; K2SO4 +FeSO4 + (NH4)2SO4 +CO 5. C6H5COOH+O2 −−&gt; CO2 +H2O 6. K4Fe(CN)6 +KMnO4 +H2SO4 −−&gt; KHSO4 +Fe2(SO4)3