Racine d'un polynôme

sont deux à deux distincts et de plus strictement positifs. Finalement, les n réels xk sont deux à deux distincts. sin(kπ) = 0. On a donc trouvé n réels deux à deux distincts racines du Maintenant, pour k ∈ 1, n , P(xk ) = kπ sin2n+1 2n + 1 polynôme P qui est de degré n. Les relations entre coefficients et racines d’un polynôme permettent d’affirmer que n xk = − k=1 −C3 n(2n − 1) (2n + 1)(2n)(2n − 1)/6 2n+1 = . = 2n + 1 3 C1 2n+1 Donc n ∀n ∈ N∗ , k=1 cotan2 kπ n(2n − 1) = . 2n +

An = I + nB + On a donc  1 n  A= 0 1 0 0 n(n − 1) 2 B . 2 n(n−1) 2 n 1   . Exercice 7 - Puissance n-ième - avec un polynôme annulateur - L1/Math Sup 1. On sait que X n = (X 2 − 3X + 2)Qn (X) + an X + bn , où an X +bn est le reste dans la division euclidienne de X n par X 2 −3X +2. Pour trouver la valeur de an et bn , on évalue l’égalité précédente en les racines de X 2 − 3X + 2, c’est-à-dire en 1 et 2. On trouve le système : an + bn = 1 2an + bn = 2n dont l’unique solution est an = 2n −

p, 2p, 3p…… (avec p=12 pour les données mensuelles ou p=4 pour les données trimestrielles) du corrélogramme de la série étudiée sont élevés, alors il existe une saisonnalité. 4 Un test est dit non paramétrique s’il ne porte pas sur les valeurs d’un ou de quelques paramètres d’une distribution. 32 Chapitre 2 Aspect théorique des séries temporelles La lecture du corrélogramme et du graphe ne suffit pas pour justifier l’existence ou non d’une saisonnalité, mais on doit la confirmer

5 6 7 8 9 10 Écrire un programme qui calcule et affiche la valeur absolue d’un nombre. Correction : � print(’Affichage de la valeur absolue’) print(’Entrez un entier :’) a = int(raw_input()) if aentier2: resultat = entier1-entier2 else: resultat = entier2-entier1 Exercice 6 : � print(’La difference entre les deux entiers est ’ + str(resultat)) � � Exercice 7 : Calcul de gabarit On définit le gabarit d’un objet en fonction de sa taille. Le gabarit peut prendre les valeurs ’Grand’

chapitre se concentre sur les séries de fonctions. Chaque section, centrée sur un thème, commence par des exercices relativement simples et se poursuit par des problèmes plus difficiles, certains étant des théorèmes classiques. Souvent, différents aspects d’un même thème sont traités en une série d’exercices successifs pour permettre d’en approfondir la compréhension. Tous les exercices sont corrigés, le plus souvent en détail, ce qui permettra aux étudiants de ne pas « sécher » sur un exercice difficile.

Exercice 2 Un navire de pêche affrété par des scientifiques, effectue des prélèvements de saumons en Atlantique Nord pour les étudier. Un banc de 63 saumons a été capturé. On souhaite savoir si ces saumons sont plutôt sauvages ou plutôt issus d’un élevage d’où ils se seraient échappés. Les saumons ont été mesurés. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous : Taille (cm) Effectif 116 2 117 0 2 118 1 3 119 5 8 120 5 13 121 5 18 122 4 22 123 4 26 124 5 31 125 4 35 2 Effectif cumulé

f '(x) = 2.x 2 − 4.x + 4 = 2.x 2 + ( −4.x ) + ( 4 ) = 4.x − 4 + 0 = 4.x − 4 ' ' ( ) ( ) ' ' Vestiges mathématiques d'une terminale scientifique : l'intégralité des devoirs d'une saison 2005-2006 Page 4 sur 67 b) Pour que la racine d'une fonction u soit dérivable, il faut et il suffit que u soit dérivable et également qu'elle soit strictement positive. La fonction u(x) = 4 − 2.x étant dérivable sur , seule sa positivité pose question. Conclusion : la limite en +∞ de la fonction

L’application CBL/CBR ............................................................................................ Page 24 2 © 1999 Texas Instruments / T3 Photocopie autorisée Le clavier de la TI-83 Plus [QUIT]touche d'annulation pour sortir d'un menu, d'une boîte de dialogue Les touches situées sous l'écran permettent d'avoir facilement accès aux applications graphiques Touches de déplacement du curseur. Réglage du contraste. Ces touches s’utilisent en appuyant avant sur ψ • Accès touches

complexes : corrigé Equations et racines n-ièmes Exercice 12 - Exponentielle - L1/Math Sup √ Posons z = a + ib, a, b ∈ R. Alors ez = ea eib . Ceci nous incite à mettre 3 3 − 3i sous forme trigonométrique. On obtient √ √ |3 3 − 3i| = 27 + 9 = 6. Il vient √ √ 3 1 −i 2 2 = 6e−iπ/6 . 3 3 − 3i = 6 On obtient alors exp a = 6 et b = −iπ/6 + 2kπ, k ∈ Z. Les solutions de l’équation sont donc les nombres complexes ln(6) + i π + 2kπ , k ∈ Z. 6 Exercice 13 - Racine carrée d’un nombre complexe - L1/Math Sup

bien de production. Achat d'un bien immobilié par consommateur est un I . Achat supplémentaire de bien demande augmente mais I plus volatile que la consommation. Le déterminant de l'I est le taux d'intérêt un projet . Financièrement , un projet d'I se présente comme une oppération qui en contre partie dépense immédiates procure des avantages future. Entrepreneur décide d'acquérir de nouveau biens de production : dépense initiale a engager, I correspond a l'achat d'un matériel nouveau durée