Racine d'un polynôme

∀b ∈ R ∀c 0 a b ⇒ ac bc . • Règles de calcul (x ∈ R , y ∈ R , n ∈ N) n (x + y)n = k=0 n k x k y n−k où n k = n! k!(n − k)! n−1 x n − y n = (x − y) x n−k−1 y k . k=0 • Valeur absolue La valeur absolue d'un réel a, notée |a|, est définie par : |a| = a si a 0 ; |a| = −a si a 0. • • Propriété d'Archimède Soit a ∈ R et b > 0. Alors il existe k ∈ N tel que bk > a. • 6 Propriétés ∀a ∈ R ∀b ∈ R |a| 0 ; |a| = 0 ⇐⇒ a = 0 ; |ab| = |a|

gendarmes, lim = 0. x →+∞ x x 2: On en déduit, comme simple conséquence que pour n x →+∞ lim ln x ln x 1 ln x 1 = lim n−1 = 0 car lim n−1 = 0 et lim = 0. n x →+∞ x x →+∞ x x →+∞ x x x 1 : x Établissons maintenant la limite suivante à l'aide d'un changement de variable du type X = lim x ln x = lim x →0 x >0 X →+∞ 1 1 ln X = lim − ln = 0 d'après ce qui précède. X →+∞ X X X 2: n−1 On en déduit, comme simple conséquence que pour n lim x ln x = lim x x →0 x >0 x →0 x >0 n n−1 x

a. Par ailleurs, lorsque le signe du reste n’est pas évident, on peut aussi étudier les variations de f(x) – P(x), où P(x) = est le polynôme de Taylor de f en a. Encadrements tayloriens classiques Exponentielle. Sur R+, exp x est supérieur à tous ses polynômes de Taylor. Sur R, exp x est compris entre deux polynômes de Taylor consécutifs. (1) x  0 1 + + + ... +  exp x (2) x  0 1 + + + ... +  exp x

fondements pour de nouveaux concepts qui seront dŽveloppŽs et consolidŽs en Terminale (limite, continuitŽ, dŽrivŽe, suite, rŽcurrence...) Les classes de premi•re S2 et S4 sont des classes scientifiques qui doivent permettre l'acquisition par les Žl•ves d'un raisonnement rigoureux et d'une bonne ma”trise technique des outils mathŽmatiques sans exc•s de formalisme et d'abstraction. L'activitŽ introductive pour une nouvelle notion sera toujours privilŽgiŽe sur une approche thŽorique. On donnera du sens ˆ

x2 2. Tangentes au graphe d'une fonction. 2.1 Tangente en un point donné du graphe d'une fonction Soit à déterminer l'équation de la tangente au graphe de f2 (x) = 3x  5 au point d'abscisse 2. 1  2x 65 1   nous avons la coordonnée complète d'un point de cette droite. 1 4 3 7 Dans l'étude de la fonction, nous avons déterminé la dérivée f ' (x) = (1  2 x) 2 7 7  La pente de la tangente sera donc : f ' (2) = 2 9 (1  4) 1 7 L'équation de la tangente se détermine alors facilement : y +

courbe representative e f admet au point (af(a)) une tangeante T dont le coeff directeur est f'(a) équation de la tangeant : f'(a)(x-a)+f(a) fonction definie en a est admettant lim en a est continue en a sont continues : polynomes , , consinus , sinus su IR fct racinne est inverses sur domaine de def somme est produit de 2 fonction continue inverse fct continue g°f si f continue en a et g en f(a) fonction affine sur un intervalle : continu sur cet intervalle pour savoir si continue

livre est un recueil d’exercices et de problèmes dans les grands secteurs des mathématiques pour l’ingénieur. Il s’adresse aux étudiants de troisième année de Licence de physique et d’EEA ainsi qu’aux élèves des écoles d’ingénieurs. Il est le fruit d’un enseignement de mathématiques pour l’ingénieur dispensé en première année de l’École Nationale Supérieur d’Électronique, d’Informatique et de Radiocommunication de Bordeaux (ENSEIRB). Nous avons pris le parti de privilégier l’exposé des méthodes

quand n tend vers ∞, pour a < 1 ? Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Si (xn) est décroissante positive, (xn) converge vers 0. Si (xn) tend vers +∞, alors (xn) est croissante à partir d'un certain rang. Si (xn) tend vers l, avec l ≥ 0, alors (xn) est positive à partir d'un certain rang. -7- RR QQ PP FF Une conséquence de ce qui précède est que {sin(n), n ∈ l'ensemble + π , est dense dans [–1,1]. } qui est l'image directe par sinus de EE DD de la forme

  CHAPITRE 1 : Introduction 1) La démarche algorithmique 2) Les compétences attendues 3) Les logiciels 4) Bref historique CHAPITRE 2 : Qu’est-ce qu’un algorithme ? 1) Définition 2) Squelette d’un algorithme 3) Langage et règles d’écriture 4) Algorigramme CHAPITRE 3 : Phases d’un algorithme 1) Préparation du traitement 2) Traitement de donnée(s) 3) Sortie de résultat(s) CHAPITRE 4 : Constantes et variables 1) Définitions 2) Conventions de nommage CHAPITRE 5 : Opérateurs et opérandes

la droite – Soit A(a; f (a)) et M (a + h; f (a + h)), h (AM ). – Le nombre Le nombre dérivé de f en a est noté f (a). Lorsque la fonction f admet un nombre dérivé en a, on dit que f est dérivable en a. Lorsque f est dérivable en tout point d’un intervalle I inclus dans le domaine de définition de f , on dit que f est dérivable sur I. Définition : f est une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction dérivée de f sur I est la fonction f qui à tout a dans I associe f (a). 1.2