Rivers

ge ra te d w ith th e de m o ve rs io n of th e PD F C om pa tib Brique E-Mage, Mars 2002 le Pr MARTINS CAMBAO Carlos MALIK Douma ASTASIO Antonio in te rD riv er 1 3 4 5 6 7 8 9 Th is fil e w as ge ne ra te d w ith th e de m o ve rs io n of th e PD F C om pa tib le Pr in te rD

DERIVEES PARTIELLES Georges Koepfler 2001 - gk@math-info.univ-paris5.fr Table des mati`res e 1 Introduction 1.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Notions de solution . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Exemples d’´quations aux d´riv´es partielles e e e 1.3.1 Physique . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Biologie. Dynamique des populations 1.3.3 Traitement des images . . . . . . . . 1 1 4 6 6 6 8 15 15 15 16 17 18 18 19 20 21 22 22 24 25 25 25 27 28 30 32 33 33 33 34 36 38 39 41

1S D´rivation-Exercices corrig´s e e Exercices corrig´s sur la d´rivation dans R e e Exercice 1 : d´terminer le nombre d´riv´ d’une fonction e e e Soit f la fonction d´finie sur R par f (x) = x2 + x. e 1. En utilisant la d´finition du nombre d´riv´, montrer que f est d´rivable en 1 et d´terminer f (1). e e e e e 2. V´rifier le r´sultat sur la calculatrice. e e Solution : 1. Pour tout r´el h non nul,n le taux d’accroissement de f entre 1 et 1 + h est : e τ (h) = f (1 + h)

31/12/12 Riv e-de-Gier à Le Touareg - Google Maps Itinéraire vers Le Touareg 38 Rue du Bœuf, 69005 Lyon​ 39,2 km – environ 32 min Rive-de-Gier​ 1. Prendre la direction est sur Imp. Grenette vers Rue Waldeck Rousseau Voie à accès limité 2. Prendre à gauche sur Rue de la Paix 3. Au rond-point, prendre la 1ère sortie sur Cours de Verdun/D88 Continuer de suivre D88 Traverser 2 ronds-points Environ 4 min 4. Prendre légèrement à droite sur Av. Maréchal Juin Environ 55 s 5. Prendre la bretelle

d’equation e ∂f ∂x (x, y) = 0 ∂f ∂y (x, y) = 0 f ´tant de classe C 2 (R2 ), les calculs des d´riv´es partielles peuvent ˆtre faits et l’on obtient e e e e ∂f (x, y) = 6(x2 + y) ∂x ∂f (x, y) = 6(x − y) . ∂y Il en d´coule que les deux points stationnaires sont (0, 0) et (−1, −1). e La deuxi`me ´tape dans la d´termination des extrema locaux fait intervenir la matrice hessienne, e e e en d’autres termes les d´riv´es secondes. La m´thode, quoique majoritairement appliqu´e dans R2 e e e e p avec p ∈ N∗

I N E R I S - F i c h e d e don n € e s t o x i c ologi q u e s e t e n v i r on ne me n t a l e s d e s su b s t a n c e s c h i mi q u e s ALUMINIUM ET D€RIV€S Derni•re mise ‚ jour : 17/01/2005 RESPONSABLE DU PROGRAMME A. PICHARD : annick.pichard@ineris.fr EXPERTS AYANT PARTICIPE A LA REDACTION M. BISSON - G. GAY - N. HOUEIX - B. JOLIBOIS - J.P. LEFEVRE - H. MAGAUD - V. MIGN€ - A. MORIN - S. TISSOT DOCUMENTATION C. GILLET Afin d’avoir une meilleure compr•hension de cette fiche,

D´rivabilit´ en un point e e D´finition 1. Soient f : I −→ e fonction R une fonction et a ∈ I. La fonction f x −→ est d´rivable en a si la e f (x) − f (a) x−a admet une limite finie lorsque x tend vers a. Cette limite est appel´e nombre d´riv´ de f en a et e e e est not´e f (a) : e f (x) − f (a) f (a) = lim . x→a x−a √ 1 1 , valeur absolue, x sin x et x2 sin x . Exemples. xn , la fonction inverse, Par un changement de variable, on peut ´galement ´crire que si f est d´rivable en a

que ψp (r, t) v´rifie l’´quation aux d´riv´es partielles suivante : e e e e e + + ∂ψp (r, t) 1 ∂ψp (r, t) + . =0 ∂r c0 ∂t + + ∂ψs (r, t) ∂ψs (r, t) et . ∂t ∂r + + ∂ψs (r, t) + ∂ψs (r, t) , ψs (r, t) et . ∂t ∂r ∀(r, t) ∈ R+∗ x R 3.2 Calculez respectivement 3.3 D´terminez l’´quation aux d´riv´es partielles liant e e e e ∂ + r.ψs (r, t) . ∂r 3.4 Calculez 3.5 En utilisant le r´sultat des questions pr´c´dentes, proposez une ´quation aux d´riv´es e e e e e e + (r, t) que celle trouv´e

Feuille de cours 1 SVE 101 2010/2011 Formulaire pour le calcul int´gral. e 1 D´riv´es des fonctions usuelles. e e Fonction f (x) D´riv´e f (x) e e Domaine k 0 I=R x 1 I=R xn nxn−1 I = R et n ∈ N − {0} 1 xn 1 x −n xn+1 −1 x2 I = R∗ et n ∈ N − {1} xα αxα−1 I =]0, +∞[ et α ∈ R − {−1} √ 1 √ 2 x 1 x x ln(x) I =]0, +∞[ I =]0, +∞[ I =]0, +∞[ ex I=R cos(x) − sin(x) I=R sin(x) cos(x) I=R

FICHE HISTOIRE DES ARTS N° 3 Thème : LA NATURE Thématique :« Arts, espace, temps» Nom de l’artiste : Andy GOLDSWORTHY Titre de l’œuvre : Rivers and Tides Date de réalisation : Film 2004 Epoque : contemporaine XXème siècle et notre époque Biographie courte : Il est né en Angleterre en 1956. Il utilise les matériaux naturels que sont la neige, la glace, les feuilles d’érable ou de chêne, les tiges, galets, fleurs de pissenlits...la plupart de ses oeuvres sont éphémères même s’il a réalisé