Rivers

cette formule : 1) La dérivée de la fonction f définie par f (x) = x2 + x est définie par : f (x) = 2x + 1 d´ riv´ e de x2 e e d´ riv´ e de x e e 2) La dérivée de la fonction f définie par f (x) = x3 + 4x est définie par : 4 f (x) = 3x2 + d´ riv´ e de x3 e e d´ riv´ e de 4x e e 3) La dérivée de la fonction f définie par f (x) = f (x) = 1 √ 2 x √ d´ riv´ e de x e e + (−1) x2 d´ riv´ e de e e √ 1 x + est définie par : x 1 x 3-2 Forme k f (k réel) PROPRIÉTÉ Si f est une fonction

COURS DE MATHEMATIQUES Fichier .pdf du cours en vid´o du mˆme nom e e La d´rivation e D´riv´e de l’inverse d’une fonction r´elle e e e Ce cours porte exclusivement sur la notion de d´riv´e relative a l’inverse e e ` d’une fonction r´elle. e 1 L’id´e g´n´rale e e e Une fonction r´elle est un op´rateur qui associe automatiquement a un e e ` nombre r´el, appel´ ant´c´dent, un autre nombre r´el, appel´ image. e e e e e e Une fonction est telle qu’un ant´c´dent n’a qu’une seule image, mais

qui ob´it, au moins au d´but, ` l’´quation e e e a e N (t) = kN (t), o` N repr´sente la population. Or c’est ´videmment faux: si N est le nombre de bact´ries, u e e e c’est une fonction ` valeur enti`re, qui est donc discontinue et ne peut avoir de d´riv´e! Si on voulait donner a e e e un mod`le qui repr´sente parfaitement la r´alit´, on aboutirait ` quelque chose de tr`s compliqu´, et de e e e e a e e probablement inutilisable. Le mod`le donn´ ci-dessus est tr`s simple, et approxime tr`s bien la r´alit´

D´rivation : Cours e I. Nombre d´riv´ en x0 e e 1. D´finition e Soit f une fonction d´finie sur un intervalle ouvert contenant x0 . On dit que f est d´rivable en x0 si e e f Ôx0   hÕ ¡ f Ôx0 Õ la quantit´ e admet une limite finie quand h tend vers 0. h Cette limite est appel´e nombre d´riv´ en x0 et not´e f ½ Ôx0 Õ. e e e e f Ôx0   hÕ ¡ f Ôx0 Õ )) si l’existence de cette limite n’a pas encore ´t´ ee h Remarque : Il ne faut pas ´crire (( lim e h 0 justifi´e. e 2. Meilleure approximation

calculs alg´ briques, les d´ riv´ es et primitives ou l’´ tude des e e e e `´ fonctions. Le pr´ sent document contient une s´ lection d’exercices a etudier pendant l’´ t´ , e e ee afin de vous permettre de pr´ parer au mieux votre futur cursus universitaire. e ` Bon courage et au plaisir de vous rencontrer a la rentr´ e ! e Table des mati` res e A Calculs sur les nombres et combinatoire B Analyse : Calculs de d´ riv´ es, primitives et int´ grales e e e 1 2 3 Calculs de d´ riv´ es e e Calculs de primitives

x0 , alors on dit que e – la fonction f est d´rivable en x0 , e – le nombre d´riv´ de f en x0 est a. On le note f (x0 ) = a. e e On retiendra la d´finition e f (x0 ) = lim x→x0 f (x) − f (x0 ) x − x0 valable lorsque cette limite existe. En introduisant la diff´rence h = x − x0 , e cette d´finition s’´crit e e f (x0 ) = lim h→0 f (x0 + h) − f (x0 ) . h 2 Interpr´tation g´om´trique e e e Le nombre d´riv´ en x0 d’une fonction f , d´rivable en x0 , est ´gal au e e e e coefficient directeur

arnaud@imag.fr M2P UFR IMA Rappel d´riv´es e e Rappel d´riv´es e e c ￿Jean-Hugh THOMAS Elise Arnaud elise.arnaud@imag.fr M2P UFR IMA Elise Arnaud elise.arnaud@imag.fr M2P UFR IMA D´tection de contours e ⇒ ´tude des d´riv´es de la fonction d’intensit´ dans l’image e e e e la fonction d’intensit´ au voisinage d’un contour en rampe et e ses d´riv´es premi`re (gradient) et seconde (laplacien). e e e D´tection de contours e ⇒ ´tude des d´riv´es de la fonction d’intensit´ dans

D´riv´e d’une application d´finie sur R a valeurs dans C e e e ` 1. On a Re(f + g) = Re(f ) + Re(g), d’o` Re(f + g) d´rivable sur R et sa d´riv´e est ´gale a u e e e e ` (Re(f )) + (Re(g)) . De la mˆme fa¸on, Im(f +g) est d´rivable sur R et sa d´riv´e est ´gale a (Im(f )) +(Im(g)) e c e e e e ` D’o` f + g d´rivable et (f + g) = (Re(f )) + (Re(g)) + i ((Im(f )) + (Im(g)) ). u e On a donc (f + g) = f + g . 2. On a Re(f g) = Re(f ) Re(g) − Im(f ) Im(g). D’o` Re(f g) d´rivable sur R et sa d´riv´e est

. . . . . . . . . . . . 14 Fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Le cercle trigonom´trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 e D´riv´es des fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 e e Courbes repr´sentatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 e 1.4.1 1.4.2 1.4.3 2 2.1 2.2 Limite et continuit´

fonctions r´ciproques. e Nous vous invitons cependant a revoir soigneusement dans votre cours de Terminale ce qui ` concerne les axes de sym´trie du graphe d’une fonction, le calcul de limites, la continuit´, la e e d´rivabilit´, le calcul de d´riv´es et l’´tude des variations d’une fonction. e e e e e 2.1 2.1.1 Notion d’asymptote D´finitions e Soient I ⊂ R , une fonction f : I → R, et Cf sa courbe repr´sentative dans un rep`re orthogonal. e e e • Cf admet une branche infinie