Rivers

1 Chapitre 2 : DERIVEES ET DEVELOPPEMENTS LIMITES Notion de d´riv´es et de diff´rentielle e e e D´riv´e d’une fonction en un point xo e e ´ Definition 0.1. Soit f : I −→ R, I un intervalle ouvert de R, soit xo ∈ I. On dit que f est d´rivable en xo si : e f (x)−f (xo ) lim existe dans R. On la note f (xo ) . x−xo x−→xo Interpr´tation g´om´trique e e e xo x Soient Mo et M f (xo ) f (x) f (x)−f (xo ) cˆt´ oppos´ oe e MH tgα = cˆt´ adjacent = x−xo = x−xo oe Quitte ` faire une translation on peut

¶l¶ments µ e e ee in¯nit¶simaux. Les masses, charges ¶lectriques, positions, vitesses et acc¶l¶rations des particules seront e e ee _ _ r e d¶not¶es respectivement m® , q® , r® , v® = r® , a® = v® = Ä® (nous d¶signerons souvent dans la suite e e les d¶riv¶es temporelles par des symboles point¶s. Les caractµres gras repr¶sentent des quantit¶s e e e e e e vectorielles). L'approche standard de la m¶canique newtonienne est alors d'¶crire le principe fondamental de la e e dynamique, reliant les acc¶l¶rations

de Rn . e 1.2. Multi-indices et d´riv´es partielles. Un n−uplet α = (α1 , . . . , αn ) e e d’entiers positifs sera appel´ un multi-indice. On pose e n |α| = et pour x ∈ Rn , αj , j=1 α! = α1 !α2 ! · · · αn !, xα = xα 1 xα 2 · · · x α n . n 1 2 ∂ ∂xj Nous utiliserons parfois la notation abr´g´e suivante e e ∂j = pour la d´riv´e partielle par rapport ` xj et parfois, nous ´crirons e e a e ux j = ∂u , ∂xj uxj xk = ∂ 2u , ∂xj ∂xk ··· Les d´riv´es d’ordres sup´rieurs s’expriment

Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Normes et produits scalaires . . . . . 1.1.2 Suites de Cauchy - espaces complets 1.2 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . 1.3 Notion de d´riv´e g´n´ralis´e . . . . . . . . . e e e e e 1.3.1 Fonctions tests . . . . . . . . . . . . 1.3.2 D´riv´e g´n´ralis´e . . . . . . . . . . e e e e e 1.4 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Les espaces H m . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Trace d’une fonction . . . . . . . . . 1.4.3 Espace

fonctions, et l’´tude d’une fonction consiste surtout a calculer sa d´riv´e pour obtenir e ` e e son tableau de variation. Ceci a un effet pervers : en g´n´ral, les ´tudiants pensent e e e que c’est la seule fa¸on d’avoir une id´e de l’allure du graphe d’une fonction (` part c e a la m´thode calculatrice...). Pourtant, cette m´thode n’est pas tr`s efficace, puisqu’il e e e arrive souvent qu’on ne puisse pas d´terminer le signe de la d´riv´e ; d’autre part, e e e souvent on peut dire bien des choses par des

36 e Op´rations sur les fonctions d´rivables . . . . . . . . . . . . . . . . 40 e e Le th´or`me de Rolle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 e e D´riv´e et sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 e e D´riv´e seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 e e D´riv´es d’ordre sup´rieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 e e e 45 4 D´veloppements limit´s polynomiaux e e 4.1 D´finition, propri´t´s, existence . .

Maritime NHP Devils Postpile NM r 5 ve o a i n Ri qu Pinnacles NM Kings Canyon NP Sequoia NP Manzanar NHS SALT LAKE CITY Utah Lake Timpanogos Cave NM Dinosaur NM Rocky Mountain NP CHEYENNE Scotts Bluff NM No rth Pla tte IOWA NEBRASKA Riv er CHICAGO 88 39 TOLEDO Indiana Dunes NL 69 65 80 90 James A. Garfield NHS CLEVELAND PENNSYLVANIA 80 PROVIDENCE Roger Williams N MEM New Bedford 88 95 BUFFALO 81 Whaling NHP Theodore Roosevelt Vanderbilt Mansion NHS Inaugural

´nergie e e e COURS DE THERMODYNAMIQUE 4e semestre Olivier PERROT 2009-2010 Table des mati`res e 1 Math´matiques pour la thermodynamique e 1.1 D´riv´es partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 1.2 Diff´rentielles totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3 Relations liant les d´riv´es partielles . . . . . . . . . . . . . . e e 1.4 Relation liant les coefficients thermo´lastiques d’un fluide . . e 2 Coefficients calorim´triques d’un fluide

10 D´rivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.11 D´riv´es partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 1.11.1 Applications ´conomiques des d´riv´es partielles: e e e utilit´s marginales des biens . . . . . . . . . . . . e 1.11.2 Applications ´conomiques des d´riv´es partielles: e e e productivit´s marginales . . . . . . . . . . . . . . e 1.11.3 Compl´ments sur les d´riv´es partielles . . . . . . e e e 1.11.4 Application ´conomique du th´or`me

étage de Thornfield-Hall sous la surveillance de Grace Poole. Jane s’enfuie et erre pendant trois jours avant d’être recueillie par la famille Rivers. Elle y reste un mois et se lie d’amitiés avec Marie et Diana. Elles et leur frère sont sans fortune depuis la mort de leur père. St John Rivers veut devenir missionnaire. A la demande de Jane, St John Rivers lui trouve un travail d’institutrice dans le village. Après quelques mois, St John lui apprend que son père est son oncle et lui a légué toute