Rotation vectorielle

somme de matrices Soit , et Définitio n: Soit une matrice et un nombre réel, la multiplication par un scalaire est l’opération externe définit comme suit; Exempl e: Propriétés de la multiplication par un scalaire Définitio n: Un espace vectoriel sur les réels est la donnée 1. d’un ensemble dont les éléments sont nommés des vecteurs 2. d’une opération interne sur appelée la somme qui respecte les propriétés suivantes 3. d’une opération externe de sur appelée multiplication par un scalaire

engendré par un ensemble de points 1.2.3 Intersection de deux sous-espaces affines . . . . . . . 1.2.4 Parallélisme de deux sous-espace affines . . . . . . . . 1.3 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Fonction vectorielle de Leibnitz . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Définition et prooprièté du barycentre . . . . . . . . . 1.4 Espaces affines de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Repère affine - Coordonnées barycentriques . . . . . . 1.4.2 Repère cartésien

fondamental pour calcul d’un d´eterminant . . . . . . 24 1.6.2 Produits mixte et vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6.3 Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 antisym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ex. 1.12 : Formules portant sur le tenseur altern´e fondamental et le vecteur dual . . . . . . . 26 Ex. 1.13 : Formule du double produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ex. 1.14 : Vecteur dual d’un

vecteurs − → − → Dire que les vecteurs AB et CD sont égaux équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme. A C B D 2 Relation de Chasles − − → → − → Pour tous points A, B et C : AB + BC = AC. Applications : • Simplifier des expressions vectorielles : − − → → − → − − → → Quand on remplace AB + BC par AC, on simplifie l’expression AB + BC. Exemple de simplification : → − − → → − → − → − → − → − → − → − − − → → → − AC + 2CB − AB = AC + CB + CB + BA = AB + CA = CA + AB = CB • Décomposer un vecteur

coordonnées du vecteur u. – u+v : Renvoie les coordonnées de u + v – u . v : Renvoie le produit scalaire de u et de v ( le point est précédé et suivi d'un espace ) Le package load(vect) permet de calculer le produit vectoriel de deux vecteurs. – express(u~v) : Renvoie le produit vectoriel de u et v. Gestion des listes – first[a,b,c,d] : Renvoie le premier terme de la liste, donc a. – second[a,b,c,d] : Renvoie le deuxième terme de la liste, donc b. – third[a,b,c,d] : Renvoie le troisième terme

En déduire que : (3) Pn′ ( x ) = −n (n + 1) Pn −1 ( x ) . 17. Déduire de (1) que : (4) x 2Pn′′ ( x ) + (1 − 2nx ) Pn′ ( x ) + n (n + 1) Pn ( x ) = 0 . Deuxième problème On désigne par 2 [X ] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et par [X ] le sous espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et le 2 polynôme nul. On rappelle que la base canonique de [X ] est B = (1, X , X 2 ) . I. Changement de bases et division euclidienne 18. Etant donné

Monfort (1989a), Gourieroux and Monfort (1989b), Greene (1990), Cohen and Pradel (1993), Bourbonnais (1993), Johnston (1997), Johnson (1999), Ruud (2000). Yves Till´ e 1 Chapitre 1 ´ e El´ments d’alg`bre lin´aire e e 1.1 1.1.1 Espace vectoriel Vecteur Un ´l´ment de Rn est une suite ordonn´e de n ´l´ments de R. On peut disposer cette suite, appel´e ee e ee e vecteur soit en ligne, soit en colonne. Exemple 1.1 Le vecteur a = [3 0], est un vecteur ligne et le vecteur   3 b = −2 0

. . . . . . . . . . . . B.2 Changement de variable dans une int´grale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e iv Chapitre 1 Outils d’analyse fonctionnelle 1.1 1.1.1 Quelques rappels Normes et produits scalaires Soit E un espace vectoriel. D´finition : . : E → IR+ est une norme sur E ssi elle v´rifie : e e (N1) ( x = 0) =⇒ (x = 0) (N2) ∀ λ ∈ IR, ∀x ∈ E, λx = |λ| x (N3) ∀ x,y ∈ E, x + y ≤ x + y (in´galit´ triangulaire) e e Exemple : Pour E = IRn et x = (x1 , . . . ,xn ) ∈ IRn , on d´finit

d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. *** QUELQUES APPLICATIONS DES MATRICES DE GRAM À LA GÉOMÉTRIE Dans tout le problème, E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ≥ 2 et on note produit scalaire sur E et la norme associée. ( ) un Si x1 , x 2 , ..., x p sont p vecteurs de E, on appelle matrice de GRAM de x1 , x 2 , ..., x p , notée G ( x1 , x 2 , ..., x p ) , la matrice de

représenter le vecteur u car on peut le tracer en chaque point du plan. !!! " !!! " A = Origine du vecteur AB ; B = extrémité du vecteur AB . !!!" ! " !!! !!!" " !!! " Rq : AA = 0 = vecteur nul ; distance AB = AB norme du vecteur ; ! AB = BA Egalité vectorielle : On dit que deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont même direction, même sens et même longueur. !!! !!! " " AB = CD équivaut à ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati). !!! !!! " " !!! " AB = CD équivaut à t !!!" (C) = D , D est le translaté