Rotation vectorielle

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e

Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Espaces vectoriels Bernard Ycart Vous devez vous habituer à penser en termes de « vecteurs » dans un sens très général : polynômes, matrices, suites, fonctions, etc. Le problème est que, contrairement à R2 ou R3 , il est difficile de visualiser des vecteurs dans un espace de dimension infinie. . . quand ce sont des fonctions par exemple ! Avoir assimilé la théorie de la dimension finie serait une bonne idée avant d’attaquer ce chapitre.

10. ALGÈBRE LINÉAIRE : MATRICES COURS MPSI R. FERREOL 11/12 B) MATRICES E,F et G désignent toujours des K-espaces vectoriels. RAPPELS : une matrice A à n lignes et p colonnes (ou de format (n, p)) à coefficients dans K est une application de [|1, n|] × [|1, p|] dans K ; pour (i, j) ∈ [|1, n|] × [|1, p|] , A (i, j) est souvent noté de façon indicielle aij , de sorte que A est notée (aij )1 i n ; 1 j p j     a11 a12 a1p a1j  a21 a22   a2p  ... = i   on la représente aussi par le tableau

Exemple : A, B et C sont trois points distincts. Exprimer la somme vectorielle AB + 3AC − 2BC en fonction −−→ −→ des seuls vecteurs AB et AC. −−→ −→ −−→ AB + 3AC − 2BC −−→ −→ −−→ −→ = AB + 3AC − 2 BA + AC −−→ −→ −−→ −→ = AB + 3AC − 2BA − 2AC −−→ −→ −−→ −→ = AB + 3AC + 2AB − 2AC −−→ −−→ −→ −→ = AB + 2AB + 3AC − 2AC −−→ −→ = 3AB + AC 7. Construction du produit d’un vecteur par un réel. 8. Exprimer une condition sous forme vectorielle. 7 (1) (2) (3) (4) (5) 3.2 Coordonnées de ku 4 COLINÉARITÉ

chapitre 6 vecteurs et repérages. I Quelques rappels. définition : → un vecteur non nul u est caractérisé par : ............................................................ ............................................................ ............................................................ → le vecteur u se représente à partir d’un ...................... par le vecteur ........ où B est le translaté de A par la ...................... de ............................ : on note ........ =

+ cy = ϕ( x ) ϕ fonction continue sur un intervalle I de R L'équation homogène associée à l'équation (I) (ou équation sans second membre) est ay ′′ + by ′ + cy = 0 ( II ) L'ensemble des solutions de l'équation homogène associée est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. 2. RESOLUTION de L'EQUATION SANS SECOND MEMBRE (II). On forme l'équation du second degré appelée équation caractéristique ar 2 + br + c = 0 ( IIc ) 1. ∆ = b 2 − 4 ac > 0 L'équation caractéristique admet deux racines réelles

Introduction à l’économétrie S6-LEF sc. éco. & gestion Chapitre 2 : Prof. Mohamed El Merouani REGRESSION LINÉAIRE MULTIPLE Plan du Chapitre : I.- Position du problème II.- Hypothèses d’application de la Méthode de moindres carrées III.- Estimation des composants du vecteur A lM ®E IV.- Espérance mathématique et matrices des variances covariances des estimateurs …à suivre… I.- Position du problème : Le modèle de régression linéaire multiple est de la forme : ero Y = a1 X 1 + a2 X 2 + L

Vecteurs et torseurs I. Rappels de quelques notions fondamentales. 1. Grandeurs physiques. Une grandeur dite scalaire est caractérisée par un nombre (« intensité ») et une unité. Exemple : La température s’exprime en degré Kelvin (K). Une grandeur vectorielle est caractérisée par un vecteur et une unité. Un vecteur est lui-même caractérisé par un sens et une norme. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ avec norme de ⃗ , ‖ ⃗ ‖ et AB distance entre les points A et B. 2. Unités. Le système international est basé sur les 7 grandeurs

   (x, y) = x2 y    (x, y) = 2  ∂y (x, y) = ∂y ∂y x + y2 x2 + y 2 u=x , v =y−x déterminer les fonctions f : R2 → R de classe C 1 solution de l'équation aux dérivées partielles : ∂f ∂f + =f ∂x ∂y Exercice 35 [ 01772 ] Analyse vectorielle On appelle laplacien d'un champ scalaire F de classe C 2 le champ scalaire déni −→ − par ∆F = divgrad F . 2 2 a) Montrer que ∆F = ∂ F + ∂ F . ∂x2 ∂y 2 b) Exprimer ∂F ∂ρ Exercice 32 En passant en coordonnées polaires, résoudre sur R2 \ {(0

R3 . 1. (a) Montrer que Ker(f ) est une droite vectorielle dont on donnera un vecteur directeur ayant sa troisi`me e coordonn´e ´gale ` 1. On notera u1 ce vecteur. e e a (b) Donner la dimension et une base de Im(f ). 2. (a) Montrer que {X ∈ R3 / f (X) = 2X} est une droite vectorielle dont donnera un vecteur directeur ayant sa troisi`me coordonn´e ´gale ` 1. On notera u2 ce vecteur. e e e a (b) Montrer que Ker(f + IdE ) est aussi une droite vectorielle dont on donnera un vecteur directeur ayant (encore)