Série génératrice

convergente. n! zn Théorème 23.1 Pour tout nombre complexe z la série est convergente. n! On note f (z) la somme de cette série pour z ∈ C. Lemme 23.1 Pour tout réel x ≥ 0 la série Théorème 23.2 1. Pour tous nombres complexes λ et µ on a f (λ) f (µ) = f (λ + µ) avec f (0) = 1. 2. La restriction de f à R coïncide avec la fonction exponentielle réelle. Pour cette raison, on note, pour tout nombre complexe z, ez la somme de la série qui définit ainsi la fonction exponentielle complexe. zn

d’éléments de K (K = R ou C). On appelle série de terme général un , notée un , la suite (Sp )p∈N définie par : p ∀p ∈ N Sp = un . n=0 Pour tout p dans N, Sp est la somme partielle de rang p de la série. Ainsi la série un est dite convergente si et seulement si la suite (Sp )p∈N converge, auquel cas sa limite S est la somme de la série ; on écrit alors : p ∞ S= un = lim p→∞ n=0 un n=0 et l’on appelle reste de rang p de la série la différence Rp = S − Sp . La série un est dite divergente lorsque la

1°) L’intégrale: 2°) Avec ϕ = est elle convergente? , étudier la convergence des 3 séries numériques: =ϕ , =ϕ − , =ϕ En cas de convergence, calculer la Somme. 3°)Discuter suivant les valeurs du réel α la convergence de la série numérique de terme général: = −α Exercice 2: (5 points) 1°) Intégrer l’équation différentielle (1): (x2-y2)y’=2xy. 2°) Le plan affine euclidien étant rapporté à un repère orthonormé, indiquer la nature géométrique des courbes intégrales de

Des mathématiciens écrivent : [pic]. Cela s'appelle décomposition en fraction continue de (. Peut-on justifier cette écriture à l'aide des questions précédentes? C) Expression de ( comme somme d'une série On considère la série de terme général [pic]. On note Sn la somme partielle de cette série : [pic]. 1) Montrer que [pic]. 2) En déduire que [pic]. 3) Préciser la limite de la suite [pic]. 4) Comment expliqueriez-vous à un élève de terminale scientifique l’expression suivante de ( :

uniquement avec les données de 2000-2009). Cette possibilité sera traitée plus loin. Sélectionner la plage contenant les données (c'est le plus simple) Insertion>Diagramme... ou icône « Diagramme » La création se fait en 4 étapes, la troisième (Série de données) permet de se limiter à une partie des données. diagrammes1 page -4- Etape 1 : Type de diagramme Choisir le type et le sous-type souhaités; selon le type choisi, il y a certaines options (3D, lignes lisses, séries empilées

Exercices Exercices 1 Sujet A 1. Soit U la suite arithmétique de premier terme u 0 = 1 et de raison 3. (a) Donner la formule explicite ainsi que la formule de récurrence de U . (b) Calculer u 20 2. Calculer judicieusement 1 + 2 + 3 + ... + 50 Sujet B 1. Soit U la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison 1 . 2 (a) Donner la formule explicite ainsi que la formule de récurrence de U . (b) Calculer u 20 2. Calculer judicieusement 1 + 2 + 3 + ... + 100 Sujet A Sujet B 1.

Algorithme de calcul d'une valeur approchée de ∏ par somme de 100 termes de la série ∏ 1 1 1 1 1 --- = --- - --- + --- - --- + --- - … 4 1 3 5 7 9 EX3 : Utiliser la notion d'invariant de boucle pour déduire l'algorithme pour calculer N!. EX4 : Soit la série harmonique 1 1 1 1 1 1 + --- + --- + --- + --- + … + --- + … 2 3 4 5 I Cette série diverge pour i assez grand. On souhaite calculer le nombre minimum N de termes de cette série pour dépasser une valeur arbitraire V donnée. 1 1 1 1 1 1 1 1 + --- + ---

Correction 1 1. On a les valeurs suivantes : a0 = 1 b0 = 7 1 1 9 a1 = 2·a0 + b0 = 2·1 + 7 = = 3 3 3 3 1 1 14 b1 = a0 + 2·b0 = 1 + 2·7 = 3 3 3 1 1 9 14 32 a2 = 2·a1 + b1 = 2· + = 3 3 3 3 9 1 1 9 14 37 b2 = a1 + 2·b1 = + 2· = 3 3 3 3 9 Voici la représentation de quelques points sur une droite graduée dont l’unité à pour mesure 2 cm : A1 A1 B2 A0 On en déduit que la suite (bn ) est décroissante. Graphiquement, les deux suites resterons chacune d’un côté de la droite graduée ( ? ?). 4. On a les propriétés

LIMITE D’UNE SUITE Etudier la limite d’une suite ( u n ) , c’est examiner le comportement des termes u n lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes vers + 1 ) LES DIFFERENTS CAS POSSIBLES Soit une suite ( u n ) . cas 1 | |De manière plus mathématique : | |Si «  u n est aussi grand que l’on veut dès que n est assez grand » , alors on dit que |

Suites géométriques I/ Définition : On dit qu’une suite Un est géométrique, s’il ∃ un réel q tel que ∀ n∈N, on a Un+1=qUn. Le réel q est appelé raison de cette suite. Exemple : La suite Un définie par : Un=-4×5nest-elle géométrique ? Si oui, déterminer le premier terme et la raison. Réponse : On calcule alors : Un+1Un=-4×5n+1-4×5n=5 ⇨Un est géométrique de raison q=5 et de premier terme U0=-4×50=-4 . Remarque : Si a,b,c,d,… sont des termes consécutifs d’une suite géométrique, on dit que