Sinus

I. Résultats usuels de trigonométrie * Valeurs particulières - Cercle trigonométrique rad | 0°0 | 30° /6 | 45°/4 | 60°/3 | 90°/2 | sin | 0 | | | | 1 | cos | 1 | | | | 0 | tan | 0 | | 1 | | non défini | * cos(x) = sin(x) = 1 = sin²() + cos²() * sin(-) = -sin() sin(+ ) = -sin() sin(-) = sin() * cos(-) = cos() cos(+ ) = -cos() cos(-) = -cos() * tan(-) = -tan() tan(+ ) = tan() tan(-) = -tan() * sin() = cos() sin()

Chapitre 6 Généralités sur les phénomènes de propagation 6.1 6.1.1 Propagation à une dimension Equation de propagation Dans les phénomènes vibratoires traités dans les chapitres précédents, nous nous sommes intéressés à des phénomènes ou des grandeurs physiques qui dépendaient d’une seule variable, le temps. Nous allons maintenant examiner toute une une série de phénomènes qui sont décrits par une fonction qui dépend à la fois du temps t et d’une variable d’espace , x par exemple. Ces phénomènes

Formulaire de dérivées Dérivées des fonctions usuelles Fonction x n , n ∈ N∗ 1 x 1 , n ∈ N∗ xn xn , n ∈ Z∗ √ x ex ln(x) sin(x) cos(x) tan(x) Dérivée nxn−1 − − 1 x2 n xn+1 Domaine de définition R R∗ R∗ R si n ≥ 1, R∗ si n ≤ −1 [0, +∞[ R ]0, +∞[ R R R\{ π + kπ, k ∈ Z} 2 R\{ Domaine de dérivabilité R R∗ R∗ R si n ≥ 1, R∗ si n ≤ −1 ]0, +∞[ R ]0, +∞[ R R π + kπ, k ∈ Z} 2 nxn−1 1 √ 2 x ex 1 x cos(x) − sin(x) 1 + tan2 (x) = 1 cos2 (x) Dérivées et opérations • Si f et g sont deux fonctions dérivables

Trigonométrie I - Généralités 1.1/ Relations fondamentales tan(x) = sin(x)/cos(x) Petite astuce de Nelly: Pour se souvenir de la formule précédente, perso je me dis que tangente c'est Soleil sur Carottes ! D'où sin sur cos...si ça peut aider! sin²(x) + cos²(x) = 1 sin²(x) = tan²(x) / (1 + tan²(x)) cos²(x) = 1 / (1 + tan²(x)) 1.2/ Transformations remarquables sin(2 + x) = sin(x) cos(2 + x) = cos(x) tan(2 + x) = tan(x) sin( -x) = - sin(x) cos( -x) = cos(x) tan( -x) = - tan(x) sin( -

Exercice 1 Soit f la fonction définie par : fx=x2-2x-3 1. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition. 2. Etudier la continuité de f en -1 et en 3. 3. Etudier la dérivabilité de f en -1 et en 3. Donner une interprétation graphique des résultats. Exercice 2 Soit f la fonction définie par : fx=x2-2 si x<1x3-3x+1 si x>1a si x =1 1. Déterminer a pour que f soit continue en 1. 2. Etudier la dérivabilité de f en 1. 3. Etudier les variations

Exercices de Télécommunications GTR 2nde année exercice 1 : Retrouver les identités trigonométriques : sin (a+b) = sin (a-b) = cos a cos b = sin a . sin b = cos a + cos b = cos a - cos b = exercice 2 : Un générateur délivre le signal am(t) : Télécommunications analogiques semaine 1 cos (a+b) = sin a . cos b = sin a + sin b = cos (a-b) = sin b cos a = sin a - sin b = Il faut les connaître. Vous pourrez les retrouver en souvenant de l'équation : e ix = cos( x ) + i sin( x ) a m (t )

Formules de trigonométrie circulaire Soient a, b, p, q, x, y ∈ R (tels que les fonctions soient bien définies) et n ∈ N. La parfaite connaissance des graphes des fonctions trigonométriques est nécessaire. Relations fondamentales cos2 (x) + sin2 (x) = 1 Arccos(x) + Arcsin(x) = π 2 1 d − dx cotan(x) = 1 + cotan2 (x) = sin2 (x) 1 Arctan(x) + Arctan x = signe(x) × π 2 d dx tan(x) = 1 + tan2 (x) = cos1(x) 2 Arctan(x) + Arccotan(x) = π 2 x en radians 0 Arccos(−x) = π − Arccos(x) π 6 π 4 π 3

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 1 FONCTIONS COSINUS ET SINUS I. Rappels 1) Définitions : Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; i ! ; j !( ) et orienté dans le sens direct, on considère un cercle trigonométrique de centre O. Pour tout nombre réel x, considérons le point N de la droite orientée d’abscisse x. À ce point, on fait correspondre un point M sur le cercle trigonométrique. On appelle H et K les pieds respectifs des perpendiculaires

Chapitre 6 FONCTIONS HYPERBOLIQUES 6.1 D´ efinitions On d´efinit trois fonctions sur R par ex + e−x (cosinus hyperbolique), 2 ex − e−x sh x = (sinus hyperbolique) et 2 sh x (tangente hyperbolique). th x = ch x ch x = Remarques : • On utilise parfois coth x = 1 · th x • Le terme hyperbolique se justifie g´eom´etriquement. En effet, en posant : quand t d´ecrit R, M de coordonn´ees (x, y) d´ecrit une branche d’hyperbole. 6.2 Trigonom´ etrie hyperbolique Dans toute la suite, a et b d´esigneront

la valeur moyenne de la puissance de ic (t) et de εc (t) sur une période T PJ = ic (t) εc (t) = T 2 4 (a Bm v0 g c ) ωb sin2 r 2v0 sin2 (ω g c t) T 4 (a Bm v0 g c )2 ωb PJ = sin2 r 2v0 sin (ω g c t) 2 T Comme la moyenne d’un sinus carré sur sa période vaut 1/2, on obtient finalement PJ = 2 (a Bm v0 g c )2 ωb sin2 r 2v0 On vérifie que PJ est toujours une grandeur positive ; c’est la puissance moyenne dissipée dans le circuit par effet Joule. Elle est responsable de l’échauffement