Sous-espace vectoriel

entier n > 0, on note . , . le produit scalaire euclidien usuel et || . || la norme associée sur Rn , Sn−1 la sphère de rayon 1 dans Rn , Mn (R) l’espace des matrices réelles à n lignes et n colonnes, In la matrice identité dans Mn (R), GLn (R) le sous-ensemble de Mn (R) des matrices inversibles, et SLn (R) celui des matrices de déterminant 1. On note Tr (M ) la trace d’une matrice M de Mn (R), t M sa transposée, M la matrice de ses cofacteurs, et l’on rappelle la formule M t M = det(M ) In . Si

P.C.S.I.1 Devoir en temps limit´ n◦ 7. e Mercredi 9 f´vrier 2011 de 13 ` 16h. e a Une fois encore, les calculatrices sont interdites. Exercice 1 1. Question de cours (a) Lorsque f est un projecteur, exprimer ses ´l´ments caract´ristiques sous forme de noyaux d’endomoree e phismes d´pendant de f . e (b) Mˆme question lorsque f est une sym´trie. e e     − y − 3z  x          2. Soit f l’endomorphisme de R3 d´fini par y  →  2x + 3y + 6z . e             z −x −

Généralités sur le système linéaire I. Définition d’un hyperplan affine (Équation linéaire à inconnues) Définition : Un hyperplan affine est représenté par une équation de type : – où les coefficients sont non tous nuls. C’est un sous-espace affine de dimension dans . EXEMPLE : La notion d'hyperplan est confondue avec celle  d’une droite dans le plan  d’un plan dans l’espace . Deux équations linéaires sont équivalentes s’ils ont exactement les mêmes solutions. Si on multiplie

Exercice 16 - Un sous-espace vectoriel de matrices - L1/Math Sup Soit E le sous ensemble de M3 (R) d´fini par e a 0 c   E = M (a, b, c) =  0 b 0  : a, b, c ∈ R . c 0 a Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M3 (R) stable pour la multiplication des matrices. Calculer dim(E).   Exercice 17 - Matrices sym´triques et anti-sym´triques - Math. Sup e e Montrer que l’ensemble des matrices sym´triques (A = tA) et l’ensemble des matrices e tA) sont deux sous-espaces vectoriels suppl´mentaires

85 86 . 86 . 88 . 90 . 91 . 94 . 97 . 98 . 99 . 101 29 Espaces vectoriels 30 Applications linéaires 31 Espaces vectoriels de dimension finie 32 Applications linéaires en dimension finie 33 Matrices 34 Calcul matriciel 35 Équations linéaires 36 Déterminants 37 Calculs de déterminants 38 Rang de matrices 39 Projections 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . . . . . . 40.4 Polynômes caractéristique .

. . e 4.6 Produit vectoriel et matrices antisym´triques ΛN . . . . e 4.7 Les orthogonales sont exponentielles d’antisym´triques e 5 Rappels et compl´ments sur les ´l´ments propres e ee . . . . . . . 6 Formes quadratiques et polynˆmes du second degr´ ` variable o e a vectorielle 6.1 Les matrices sym´triques r´elles . . . . . . . . . . . . . . . . e e 6.2 Les formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Polynˆmes du second degr´ ` variable vectorielle . . . . . o ea 6.4

tensorielle, qui n'est pas exhaustive, sans doute, mais qui a pour seul but celui d'introduire le formalisme tensoriel et les résultats dont on fera usage dans les chapitres suivants. Dans le même chapitre sont rappelés aussi des éléments d'analyse vectorielle et de géométrie différentielle qui seront eux aussi utilisés dans la suite du cours. Le chapitre 2 est consacré à un sujet particulier, à mi-chemin entre les mathématiques et la mécanique, celui des vecteurs appliqués. Certaines connaissances des

∈ L1 (R). Montrer que f co¨ ıncide presque partout avec 1 sur R que l’on d´terminera. une fonction g de classe C e Exercice 5 - - Troisi`me ann´e e e ˆ Soit f ∈ L1 (Rn ) telle qu’il existe x0 ∈ Rn telle que f (x0 ) = 0. Montrer que l’espace vectoriel n n’est pas dense dans L1 (Rn ), o` τ f (t) = f (t − x). engendr´ par les (τx f ), x ∈ R e u x Exercice 6 - Non-surjectivit´ de la transform´e de Fourier - Troisi`me ann´e e e e e On sait que la transformation de Fourier est une application lin´aire

variable réelle à valeurs réelles: limites, continuité, dérivées, formules de Taylor. • Mathématiques pour les sciences : Systèmes d'équations linéaires, méthode du pivot, 3 2 3 sous-espaces vectoriels de R , familles libres, bases des sous-espaces de R et R , produit 3 scalaire canonique de R , produit vectoriel, matrices 2x2 et 3x3, matrices de transformation du plan et de l'espace, déterminants 2x2 et 3x3, diagonalisation des matrices 2x2, équations différentielles linéaires à coefficients

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 juin 2013 Enoncés 1 Déterminants Applications multilinéaires Exercice 1 [ 01410 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E × E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur E