Suite aléatoire

Séance 1 : Dénombrement Semaine du 11 au 15 octobre 2010 Séance 2 : Probabilités simples Semaine du 18 au 22 octobre 2010 Séance 3 : Probabilités conditionnelles Semaine du 25 au 29 octobre 2010 Séance 4 : Variables aléatoires Semaine du 1er au 5 novembre 2010 Séance 5 : Loi binomiale Semaine du 8 au 12 novembre 2010 et interrogation Difficulté des exercices : * Très simple ** Simple *** Moyenne **** Avancée Séance 1 : Dénombrement

variations sont en général dues à une multitude de facteurs extérieurs que l'on ne sait pas contrôler. Il est donc raisonnable d'attacher à tout modèle, supposé refléter un phénomène complexe, un terme aléatoire qui représente l'écart entre le modèle théorique choisi et l’observation. Ce terme aléatoire appelé terme d'erreur, sera ajouté au modèle comme le montre la relation suivante : La régression linéaire 28/11/01 - Page 1/11 Y = β 0 + β 1 X 1+ β 2 X 2 + ε L'évaluation ou plus précisément

Terminale S ⇔ il a deux côtés consécutifs perpendiculaires ; ⇔ ses côtés [NP] et [NM] sont donc perpendiculaires ; Partie B La durée de vie d’un ordinateur (c’est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ avec λ > 0 . Ainsi, pour tout réel t positif, la probabilité qu’un ordinateur ait une durée de vie inférieure à t années, notée t 0  m−n  π π 1  1  ⇔ arg   = ± ⇔ arg  + i  = ± ⇔ + i ∈ iℝ

Cette notion concerne les dispositifs non réparables. • Dans le cas de dispositifs réparables, on parle de MTBF (Mean Time Between Failures) Z. Cherfi 20 Rappels de proba-stat • Evénement aléatoire: C’est un événement qui se produit avec une probabilité P(E) (Une défaillance est un événement aléatoire) Soient deux événements A et B dont les probabilités d’occurrence sont P(A) et P(B). P(A ∩ B): probabilité que A et B se réalisent P(A ∪ B): probabilité que A ou B se réalise Z. Cherfi 21 Rappels

demandée) : suit la loi normale de moyenne 874 et d'écart type 10,5. Soit la variable aléatoire définie par : ≤ 890,5 = 859,5 − 874 ≤ 10,5 = , =1− = 0,87 = 0,13 ; suit 29 11 −Π − ≈ Π 1,57 − Π −1,38 = Π 1,57 − 1 − Π 1,38 21 7 = 0,9418 − 1 + 0,9162 = 0,858 ≈ 0,86 =Π 2° Réponse A : 0,27 Justification (non demandée) : − 874 880,5 − 874 ≥ 880,5 = ≥ = 10,5 10,5 = 0,2676 ≈ 0,27 C. Etude d'une suite 1° Augmenter un nombre de 20% revient à le multiplier par 1 + = 1,2 859,5 ≤ − 874

C’est la somme de l’erreur systématique (erreur de justesse) et de l’erreur aléatoire (défaut de fidélité). Lors de mesures répétées nous obtenons généralement une dispersion des résultats ; si les erreurs de mesure sont aléatoires un traitement statistique permet de connaître la valeur la plus probable de la grandeur mesurée et de fixer les limites de l'incertitude. L'erreur systématique se superpose aux erreurs aléatoires. Elle est provoquée par un mauvais réglage ou un mauvais étalonnage. Elle

 Jahidi 5 Techniques extrapolatives Observations sur une seule variable Le passé est utilisé pour prévoir le futur à court  terme (CT) t  (CT) Les observations passées sont décomposées  en un niveau moyen, un facteur saisonnier et  un facteur aléatoire R. Jahidi 6 Niveau de précision? L’utilité première de la prévision: réduction de  l incertitude l’incertitude Les coûts de la prévisions dépendent du  niveau de précision recherché, et donc des  d é h hé d d techniques utilisées, des données utilisées

un décalage entre la valeur vraie et la valeur mesurée (décalage fixe ou à variation lente). - Ce type d’erreur est difficile à compenser, nécessite un étalonnage précis de la chaîne de mesure. - Les erreurs statistiques - C’est une variation aléatoire de la valeur mesurée autour de la valeur la plus probable. Cette erreur suit une loi statistique particulière. (nécessite de connaître le modèle probabiliste du système mesuré) •CMI 2009-2010 P. NAYMAN 20 Les erreurs statistiques La présence

SUITES NUMERIQUES I. Limite d'une suite définie par son terme général 1. Limite infinie Soit (U n ) la suite définie pour tout entier naturel n , par U n=n2 Le nuage de points représentant les 50 premiers termes de (U n ) , ainsi qu'un tableau de valeurs pour de « très grandes valeurs » de n , sont donnés ici. n Un 50 500 1000 5000 10000 12000 Il semble que quel que soit l'entier p que l'on choisit,on peut trouver un entier N pour lequel U N >10 p Par exemple, pour avoir U

Comportement d’une suite numérique 1. Suites majorées, minorées, bornées Définitions :    Soit une suite définie sur . Dire que la suite est majorée signifie qu’il existe un réel Dire que la suite est minorée signifie qu’il existe un réel Dire que est bornée signifie qu’il existe deux réels et tel que pour tout entier naturel , tel que pour tout entier naturel , tels que pour tout entier naturel n, Méthodes pour démontrer qu’une suite est majorée, minorée ou