Suite aléatoire

et (2,1). Suite : Placement/Emprunt On fait un emprunt de 10000€ à un tau de 4% par an. On rembourse 500 par mois. Soit Un ce qu’il reste comme du à la fin du nième mois (U0=10000). Soit Vn=Un-R. 0) Donnez le taux mensuel. 1) Choisissez R correctement pour que Vn soit géométrique. 2) Calculez Vn . 3) Déduisez-en Un . 4) En combien de temps a-t-on fini de rembourser ? 5) Même question qu'au 4 avec 35, 40 et 50 €/mois Rayon de convergence Concours ensea 1999 On considère la suite définie pour

partie entière de x et on rappelle que ⎣ x ⎦ est le seul entier vérifiant : ⎣ x ⎦ ≤ x < ⎣ x ⎦ + 1. On considère une variable aléatoire X définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P) et qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (avec λ > 0). On note F sa fonction de répartition. On pose X1 = ⎣ X ⎦ , X2 = ⎣ 10( X − X 1 )⎦ et l’on admet que X1 et X2 sont des variables aléatoires définies elles aussi sur (Ω, A, P). 1) a) Déterminer X1(Ω). b) Pour tout k de X1(Ω), exprimer P(X1 = k) à l’aide de F. c)

0,82 - m P(X0,98) = 0,30 = 1 - P ( ) Þ = 0,5244 s s De ces 2 équations à 2 inconnues, on tire m » 0,9186 et s » 0,1171 II – Une usine utilise une machine automatique pour remplir des flacons contenant un certain produit en poudre. Par suite de variations aléatoires dans le mécanisme, le poids de poudre par flacon est une v.a. de loi normale de moyenne m et d’écart-type 1,1 mg. Les flacons sont vendus comme contenant 100 mg de produit. 1°) La machine est réglée sur m=101,2 mg. Quelle est la probabilité

montrer qu’une suite est géométrique ? on montre que le quotient un +1 est constant (cad indépendant de n) ou encore qu’il existe un réel q un u1 pour connaître la raison, admettre le résultat et poursuivre le u0 indépendant de n tel que un +1 = qun . si on échoue, on calcule le quotient problème avec la bonne raison q… Comment peut-on montrer qu’une suite est monotone ? on étudie le signe de un +1 − un . on le démontre par récurrence. Par exemple, on calcule les premiers termes de la suite pour conjecturer

« Pourquoi la suite de Fibonacci est-elle célèbre ? » 4 Contexte historique et biographies 6 La méditerranée au XII° siècle 6 Le monde Latin 7 Le monde islamique 7 Byzance &amp; son Empire 8 Les échanges 8 Biographie de Fibonacci 9 Le problème des lapins 10 La suite et ses propriétés 12 La suite de Fibonacci 12 Définition : 12 La suite de Lucas 12 Propriétés des deux suites 13 Théorème de Zeckendorf 13 Rapports entre f(n) et f(kn) 13 Les nombres premiers et la suite 14 Sommes

Maths Ecricome mai 2000 Voie Economique Exercice 1 Soit X une variable aléatoire à densité dé…nie sur un espace probabilisé. On note f une densité de X, F sa fonction de répartition. On fait les trois hypothèses suivantes: 1. (a) i. Si t appartient à ] 1; 0[, f (t) = 0. ii. Si t appartient à [0; +1[, f (t) est strictement positif. iii. f est continue sur ]0; +1[. 2. Montrer que l’ équation F (x) = 1 admet une solution unique sur 2 ]0; +1[. Cet unique réel, que l’ notera m

probabilités manquantes l’arbre ci-dessous : b) Montrer que la probabilité de l’évènement B2 est égale à . Dans la suite on considère que k = 12. 2. 3k +6 . 4k +12 Un joueur mise 8 euros et effectue une épreuve. Si, à la fin de l’épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit 12 euros. Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur, c’est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise. a) b) c) d) Montrer que les

par : f 1 (x) = x + e−x 1. Justifier que C 1 passe par le point A de coordonnées (0, 1). 2. Déterminer le tableau de variation de la fonction f 1 . On précisera les limites de f 1 en +∞ et en −∞. Partie B L’objet de cette partie est d’étudier la suite (I n ) définie sur N par : I n = 1 0 x + e−nx dx. → − → − 1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; ı ,  , pour tout entier naturel n, on note C n la courbe représentative de la fonction f n définie sur R par f n (x) = x + e−nx . Sur le graphique

empiriques. 3.1. METHODES D’ECHANTILLONNAGE PROBABILISTES 3.1.1. Echantillonnage aléatoire et simple Un échantillonnage est aléatoire si tous les individus de la population ont la même chance de faire partie de l’échantillon; il est simple si les prélèvements des individus sont réalisés indépendamment les uns des autres. En particulier, si la population est finie, cette définition correspond au tirage aléatoire avec remise, qui permet de traiter les populations finies comme des populations infinies

Seule l'utilisofion d'unerègle gnoduée est outorisée. ExerciceI (*n Pourtout n de IN*, on poseun: -=* J or * _ l) Montrerquela suite(ar,),upestbien#n.rr.. 2) Pourtout n de IN*, on posealorsy,?: I | rt e-' - (*e L w n|: '-' 1 I to* J,r*; I l* Jo'ni a) Montrer : Vne [..]*,0 < *,. que ! . e e c) Donner la limite de la suite (a,). 3) On seproposede déterminerun équivalentde z, lorsquen est au voisinagede *oo. a) Montrer que l'inrégraleJ : .f _ il0 1-5 x dx estuneintégraleconvergente