Suite aléatoire

considère un actif dérivé F2 -mesurable H : Ω → R+ (c’est un un contrat assurant à son détenteur le flux H à la date terminale 2). Il est dit réplicable (ou simulable) s’il existe un portefeuille autofinancé Φ telle que V2Φ = H. On note H la variable aléatoire définie sur Ω par : H(ω1 ) = 0, H(ω2 ) = 0.25, H(ω3 ) = 4.25, H(ω4 ) = 1.5, H(ω5 ) = 3.5. 3.a. Déterminer le prix de l’actif aux dates 0 et 1, i.e. la valeur du portefeuille associé à une stratégie autofinancée Φ permettant de dupliquer l’actif dérivé

alors (ex )n+1 = (ex )n × ex = enx × ex = enx+x = e(n+1)x . – La propriété est vraie pour n = 0 et se transmet, pour tout n, de n à n + 1, donc la propriété est vraie pour tout n : pour tout entier naturel n, (ex )n = enx . Partie B On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par : 1 un = 1 1. a. u0 + u1 = 0 Par linéarité de l’intégrale, u0 + u1 = 1 1 dx + 1 + e−x 0 1 0 e−x dx 1 + e−x 0 e−nx dx. 1 + e−x 1 1 + e−x 1 0 b. u1 = 2. Pour tout entier

8 Partie 5. Devoirs Partie 1 Introduction et Modèle Statistique CHAPITRE 1 Introduction Considérons un problème de Fiabilité où l’on étudie la durée de vie X d’un matériel. Il est raisonnable d’admettre que celle-ci est aléatoire et X est alors une variable aléatoire (v.a.) de fonction de répartition (f.d.r.) F . Supposons que l’on soit précisément intéressé par l’évaluation de la probabilité que le matériel soit en marche après un temps t0 de fonctionnement, c’est à dire évaluer ¯ F (t0 )

Celles présentant uniquement un défaut de couleur sont soldées au prix de 25€ chacune ; [pic] Enfin les pièces correctes sont vendues au prix de 30€ chacune. Sachant que le coût de fabrication d’une pièce est de 10 €, on considère la variable aléatoire [pic]égale au bénéfice fait par l’entreprise sur chaque pièce, exprimé en euros. 5. L’entreprise peut espérer un bénéfice moyen, exprimé en euros, de : a 18,68 b 18,54 c 18

parties de Ω. Si ̅ ̅ ̅ ̅ } n’est pas une tribu sur Ω. montre que = { Preuve Montre que = { ̅ ̅ ̅ ̅ } n’est pas une tribu surΩ : On a A et B sont deux parties sur , on obtient ̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Mais ̅ ̅ Donc Exercice 11 : On lance un dé quatre fois de suite et le joueur A marqué 1 point si le chiffre obtenu est 1 ou 2; sinon c’est le joueur B qui marquée un point. Le joueur qui gagne la partie est celui qui a le plus de points à l’issue de ces quatre lances. Calculer la probabilité de gain de chaque joueur

: f 1 (x) = x + e−x 1. Justifier que C 1 passe par le point A de coordonnées (0, 1). 2. Déterminer le tableau de variation de la fonction f 1 . On précisera les limites de f 1 en +∞ et en −∞. Partie B L’objet de cette partie est d’étudier la suite (I n ) définie sur N par : I n = 1 0 x + e−nx dx. → → − − 1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; ı ,  , pour tout entier naturel n, on note C n la courbe représentative de la fonction f n définie sur R par f n (x) = x + e−nx .

comme leur grand frère américain : c’est-à-dire qu’ils étaient efficients  . Ainsi l’hypothèse de l’efficience des marchés d’action (Efficient Market Hypothesis: EMH) était validée même sur les « petits » marchés européens. Vingt années plus tard, et suite à de nombreux travaux empiriques toujours plus sophistiqués, cette hypothèse de l’efficience des marchés financiers est remise en question par la communauté scientifique des financiers, tout au moins par une partie d’entre elle. La remise en cause

Distribution normale des erreurs . . . . . . . Signification de l’incertitude standard . . . . Discussion de cas remarquables . . . . . . . . Le langage des probabilités . . . . . . . . . . 4.6.1 Le double langage. . . . . . . . . . . . 4.6.2 Variable aléatoire et loi de probabilité. 4.6.3 La mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

AVENIR – 8 MAI 2014 30. Quel que soit : a. b. c. d. aucune des trois propositions ci-dessus n’est correcte 31. La suite : a. converge b. diverge vers c. diverge vers + d. aucune des trois propositions ci-dessus n’est correcte 32. est : a. b. c. d. nulle strictement négative strictement positive aucune des trois propositions ci-dessus n’est correcte PROBABILITES On lance deux fois de suite et de manière indépendante un dé parfaitement équilibré à six faces dont : deux sont blanches marquées chacune

Exercice 1 Une entreprise fabrique une liqueur à base d'écorce d'orange qui sera appelée par la suite de l'exercice « originale ». Il existe sur le marché des contrefaçons qui seront appelées « copies ». On sait que 1,5% des flacons proposés à la vente sont des copies. Pour éliminer les copies, l'entreprise a mis au point un test optique permettant, sans rompre le certificat de garantie, de se faire une opinion sur la conformité du produit, On sait que : la probabilité que le test soit