Suite aléatoire

Variable aléatoire Entraînement (page 162) EXERCICES DE TÊTE b) 1 3 23 p(X = 5) = 0,3. 24 0,16 + 0,32 + 0,46 + 0,60 > 1. 2 3 26 a) (0,4)2 = 0,16 ; 27 1. p(X = 8,1) = 1 – (0,1 + 0,3 + 0,2) = 0,4. e 2. On ne peut pas déduire la 4 valeur prise par X. 28 1. a i 2. 1 2 p(X = ai) 1 2 1 2 ai 1 2 p(X = ai) 2 3 1 3 2 3 1 3 –1 0 1 0 2 3 –1 –2 –1 b) (0,6)2 = 0,36. VARIABLE ALÉATOIRE 2 1

a) Retrouver la démonstration de Louis. b) Expliquer le commentaire du professeur : « Correct, mais bien maladroit ! » 1 1 1    2°/ La suite u est définie pour tout entier naturel n ≥ 1 par u n  1  . Thomas se moque 2 3 n de Clémence parce qu'elle lui assure que cette suite tend vers + ∞. A-t-il raison de se moquer ? Quelle est la limite de cette suite ? Pourquoi ? Exercice 2 : QCM Pour chacune des questions suivantes, indiquez la bonne réponse en justifiant votre choix pour les questions 1°/

- --- ----------- ----------~ ~-, Solution: 1°/ Appelons X la variable aléatoire égale au nombre d'accidents recensés par jour; les valeurs possibles de X sont entières (variable discrète) et varient de 0 à 5. A chacune de ces valeurs Xi, on associe sa probabilité de réalisation Pi: nombre de jours d'apparitions divisé par 200. Nombre Xi d'accidents Probabilités Pi 0,43 ° 1 0,41 2 0,11 3 0,035 4 0,01 5 0,005 Le nombre moyen d'accidents par jours est alors l'espérance

de f avec l’axe des ordonnées. d. Calculer les coordonnées des points d’intersection B et C de la courbe de f avec l’axe des abscisses . 2 3) 1 ≤ 4x x+4 6) 6 – 3 x ≥ 2 2. Déterminer la loi de probabilité d’une expérience aléatoire . Exercice 1 On lance 3 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On notera F « obtenir le côté Face » et P « obtenir le côté Pile » 1) Construire l’arbre correspondant à cette expérience . 2) On note les évènements : A « on obtient une seule fois Face » , B

Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie novembre 2003 Exercice 1 Commun tous les candidats 4 points 1. L’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale est np. Ici 10 E(S n ) = np = 10 donc p = . Si S n est la variable aléatoire totalisant le nombre n 10 n−k 10 k 1− pour 0 d’accidents, on a P(S n = k) = n p k (1 − p)k = n k k n n k n. 10 n . 2. a. On en déduit que [P(S n = 0)] = n p 0 (1 − p)n = 1 − 0 n En supposant n > 10, on obtient, en prenant le logarithme ln [P(S n = 0)] = 10 10 ln

recherchées pour évaluer le besoin en fonds propres, puis on présentera les principales mesures de risque permettant de fixer un niveau optimal de fonds propres. 1.1. Définition Soit Ω l’ensemble fini des états de nature possibles, on appelle variable aléatoire réelle une fonction X qui à un état de la nature ω associe le réel X (ω ) . En assurance, le résultat d’une compagnie sur une période donnée ou la charge agrégée de sinistres (d’une ou plusieurs garanties) peuvent être formalisés de cette manière

5 000 2. Soit u une fonction strictement positive sur l’intervalle ]0 ; +∞[. Si lim u(x) = 0 alors : x→+∞ • lim ln[u(x)] = +∞ x→+∞ • lim ln[u(x)] = −∞ x→+∞ • lim ln[u(x)] = 0 x→+∞ 3. Voici la loi de probabilité d’une variable aléatoire X : xi pi −10 0,2 0 0,3 10 0,5 • l’espérance mathématique de cette variable est 3 • l’espérance mathématique de cette variable est −3 • l’espérance mathématique de cette variable est 0 4. Pour tout a > 0, ln 3a − ln a est égale à : • ln 3 1

cours de la fabrication, on prélève au hasard successivement cinq montres. On considère que le nombre de montres fabriquées est assez grand pour que l’on puisse supposer que les tirages se font avec remise et sont indépendants. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de cinq montres, associe le nombre de montres ne présentant aucun des deux défauts a et b. On définit l’évènement E : « quatre montres au moins n’ont aucun défaut ». Calculer la probabilité de l’évènement E. On en donnera

V) p(T) = p V (T) × p(V) p(T) = p V (T) × p(V) 1 − p(T) = 0, 97 × 0, 98 1 − 0, 0492 0, 9998 PARTIE B On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. 1. X suit une loi binomiale car • Il n’y a que deux issues : soit V, soit V ; • les tirages sont indépendants ; • p = 0, 02 • n = 10 2. Probabilité qu’il y ait au moins

On répète donc n fois l’expérience à deux issues : « tirer une rouge numérotée 1 » de probabilité p = 0, 2 car c’est N1 ou « ne pas tirer une rouge numérotée 1 » de probabilité 0, 8, la variable aléatoire X qui sert à compter les succès (nombre de boules rouges sur les n tirages) est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n ; 0, 2). Donc, pour k entier entre 0 et n, p(X = k) = nk ×0, 2k × 0, 8n−k a. « Tirer au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages » a pour contraire