Suite définie par récurrence

NotationsUne suite numérique est une fonction de ℕ vers ℝ. Si une suite est représentée par la lettre u, on note un l'image de n, appelée aussi terme d'indice n. La suite entière est représentée par (un). Suite des valeurs d'une fonction.Soit f une fonction définie sur [0; +[. On peut définir une suite (un) par un = f (n). Exemple Soit f la fonction définie par . On considère la suite (un) définie par un = f(n). On a alors : , , , etc... Suite définie par récurrenceOn définit une suite par

Vocabulaire Définition 1 1. Une suite (u n ) est strictement croissante à partir du rang p si, pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 > u n . 2. Une suite (u n ) est strictement décroissante à partir du rang p si, pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 < u n . 3. Une suite (u n ) est stationnaire à partir du rang p si, pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 = u n . 4. Une suite (u n ) est majorée s’il existe un nombre M tel que pour tout n ≥ 0 on a un ≤ M . 5. Une suite (u n ) est minorée s’il existe

ECRICOME 2007 − Voie Technologique − Correction Page 1 Correction Ecricome 2007 Voie technologique La correction comporte 10 pages. Exercice 1 1.1 Etude d’une fonction g auxiliaire 1. _ (a) Soit P la fonction polynomiale définie sur R par P (x) = 3x3 − x − 2. Comme P (1) = 0 et P 0 (1) = 8 6= 0 puisque P 0 (x) = 9x2 − 1. Ainsi : P est factorisable par x − 1 (b) Nous pouvons donc écrire que : ¡ ¢ P (x) = (x − 1) ax2 + bx + c ¢ ¡ = (x − 1) 3x2 + bx + 2 en identifiant le coefficient

les résultats des deux produits sont souvent différents. d) Puissance k-ième (k entier naturel). Soit A une matrice carrée de taille n×n. Le produit A×A est donc possible et se note A² (cette matrice est aussi de taille n×n). Par récurrence on peut donc définir A3, A4 , …., Ak (toutes de taille n×n). Par convention, on a A0 = In (la matrice unité). Remarque : Si D est une matrice diagonale, Dk est aussi diagonale et est constituée des nombres di,ik sur sa diagonale. Par exemple : 3 3 3 2 0 8

ACTIVITÉS Suites (page 22) 5 r30 ≈ 3,353 et donc u30 ≈ 6,647. Activité 1 y d ⌬ 1 Pour tout entier naturel non nul n, un = 2  : la suite (un) n est géométrique de premier terme u0 = 1 et de raison 2. y = 0,85x + 0,5 2 Comme 4 h = 12 × 20 min, u12 = 212 = 4 096. 3 u25 = 33 554 432 et u26 = 67 108 864 donc au bout de 26 × 20 min, soit 8 h 40 min, la population de bactéries dépasse les 38 000 000. 4p × (6 370 × 109)3 mm3 3 VTerre ≈ 1,08 × 1039. Or 2129 < 1,08 ×

Continuité 3. Calcul différentiel 4. Fonctions usuelles 5. Fonctions de deux variables 2 Suites et séries numériques 1. Généralités 2. Suites numériques calculables 3. Suites un+1 = f (un ) 4. Séries numériques 5. Suites définies implicitement 3 Calcul intégral 1. Primitives 2. Intégrale définie 3. Intégrales généralisées 4. Séries et intégrales Algèbre linéaire 4 Systèmes linéaires Calcul matriciel 1. Systèmes linéaires III TABLE DES MATIÈRES 2. Calcul matriciel 3. Un exemple d’espace vectoriel

lorsque celles-ci existent : b) lim c) lim ex−sin x e) lim x 1/x f) lim x 1/x x→+∞ x→+∞ x→0 Exercice 7 [ 01786 ] [correction] Déterminer les limites suivantes : a) lim x→0+ Exercice 2 [ 01780 ] [correction] Etudier la parité de la fonction f définie par x cos ex x→+∞ x2 + 1 1 x→0 x x + arctan x d) lim x→+∞ x a) lim x. sin b) lim x 1/x 1/x x→0 c) lim x2 1/x x→0 Propriétés des limites Exercice 8 [ 01789 ] [correction] a) Soit g : R → R une fonction périodique convergeant en +∞. Montrer

limite d'une suite que nlim → +∞ Exercice 1 : ( sur 2) Soit u n=3+ Exercice 2 : ( sur 3) Déterminer la limite des suites suivantes : 2 n n −2 n +3 n+1 2 −3 w = ; u n=3 n3 – 4 n+2 ; v n = n 2 n 3 n +5 n 3 −1 Exercice 3 : (sur 2) Les suites u et v sont définies pour tout entier naturel n  2, par : n n u n= et v n = √n √ n+1 1°) Déterminer la limite de u n . 2°) Montrer que pour n  2, u n⩽v n 3°) En déduire la limite de v n . Exercice 4 : ( sur 3) 1°) On considère une suite u définie sur ℕ et telle

1L-cours-suites.doc SUITES ET TYPES DE CROISSANCE ASSOCIÉS I) NOTATIONS Une suite est une liste ordonnée de nombres. Ex : J'ai un nénuphar magique dont la surface double chaque jour. On décide de noter un la surface qu'il aura dans n jours. Sachant qu'aujourd'hui il mesure 5 cm2, on cherche à calculer un : Demain, c'est à dire dans 1 jour, la surface du nénuphar sera donc u1 = 2 × 5 = 10 cm2 Après-demain, c'est à dire dans …… jours, la surface du nénuphar sera donc …… = 2 × 10 = 20 cm2 Le jour

– f(a)/h = f’(a) x→a h→0 f est continue en a si lim f(x) = f(a) x→a Fonctions continues sur l’intervalle où elles sont définies : -affine ; polynôme ; trigonométrique ; racine carrée ; constante par multiplication, addition, division ou composition. Dérivée : g = √(u) => g’ = (u)’/2√(u) ; f = 1/x² => f’ = -2x/x4 (sin x)’ = cos x ; (cos x)’ = -sin x (cos (u))’