Suite définie par récurrence

de sismomètres autour de cette région et d'enregistrer la sismicité -c'est à dire tous les séismes même minimes qui se produisent dans cette zone- afin de connaître au mieux cette sismicité mais aussi d'estimer la magnitude maximale possible, la récurrence des séismes... Pour cela, le mieux est de faire des observations sur de très longues périodes qui doivent être d'autant plus longues que la sismicité de la zone est modérée. Cependant, enregistrer l'activité sismique pendant dix ans sans que rien

cherche à comparer différentes méthodes d’intégration numérique. Dans un premier temps, on se concentre sur trois méthodes de calcul d’intégrale : - La méthode des trapèzes. - La méthode de Simpson. - La méthode de Gauss-Legendre. Durant toute la suite de notre réflexion, on suppose une fonction f continue et positive sur un intervalle [a, b] dont on veut calculer l’intégrale : I) Méthode des Trapèzes: Principe : La méthode d'intégration approchée, dite des trapèzes, décrite

et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E × E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur E. Déterminant d’une matrice Exercice 5 [ 01414 ] [correction] ¯ Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (C). On note A = (¯i,j ) ∈ Mn (C). a Former une relation liant det(A)

f(x) }. Déterminer la limite de cette aire quand a tend vers +∞. dt . x ln(1 + t 2 ) 1°) Montrer que f est définie, continue et dérivable sur R*. 2°) Montrer que f est impaire. 6. Soit f définie sur R* par f(x) = ∫ 2x 3°) Calculer f '(x) pour x > 0. On écrira : f(x) = F(2x) − F(x) avec F primitive de x x R*+ 1 1 sur ln(1 + x 2 ) 6. (escp 89) Soit f définie sur R par : f(x) = ∫ 2x x exp(− t 2 )dt 1°) a) Etudier la parité de f. b) Déterminer le signe de

Manipulation de listes en CAML. 7. Exercices CHAPITRE 5. RECURSIVITE, RECURRENCE. 1 . Introduction. 2. Récursion et récurrence. 2.1. Définition récursive. 2.2. Principe de récurrence sur les entiers. 3. Récursion et récurrence sur les listes. 3.1. Définitions récursives sur des listes. 3.2. Principe de récurrence sur des listes finies. 4. Définitions formelles d'opérations sur les listes. 4.1. La fonction "coupler". 4.2. Preuve par récurrence sur des filtres. 4.3. Les fonctions "prendre" et " retirer". 4

sont sécantes au point L(4; 1; 2) b. Conclusion : on a trouvé une droite ∆ perpendiculaire commune aux deux droites d1 et d2. EXERCICE 3 5 points Thème : fonction exponentielle, algorithmique 1. Affirmation : La fonction f définie sur R par f (x) = ex −x est convexe. f est définie et dérivable sur R comme somme de fonctions dérivables sur R. On a f ′(x) = ex −1, puis f ′′(x) = ex . On sait que ex > 0 quel que soit x, donc f est convexe sur R. l’affirmation est vraie. 2. Affirmation :L’équation (2ex

développer le polynôme n (1 + X)(1 + X 2 )(1 + X 4 ) . . . (1 + X 2 ) b) En déduire que tout entier p > 0 s’écrit de façon unique comme somme de puissance de 2 : 1, 2, 4, 8, . . . Exercice 4 [ 02553 ] [correction] Soit (Pn )n∈N la suite de polynômes définie par P1 = X − 2 et ∀n ∈ N , Pn+1 = Pn2 − 2 Calculer le coefficient de X 2 dans Pn . Polynômes réels Exercice 5 [ 00399 ] [correction] Soit P ∈ R [X]. Montrer qu’il y a équivalence entre (i) ∀x ∈ R, P (x) 0 ; 2 (ii) ∃(A, B) ∈ R [X]

Mépris de la vie et consolation de la mort (1594)  Observations : Jean-Baptiste Chassignet est un homme né en 1571 à Clairac en Angenais et mort en 1635. Il reçoit une formation humaniste et étudie le droit à l’université de Dole. Il mène par la suite une carrière d’avocat fiscale et de conseiller au baillage de Gray. Néanmoins il était aussi un poète de talent injustement méconnu, attaché à la culture baroque qu’il exprime à la perfection. En effet, dans ses poèmes on entrevoit parfaitement les

0 Exercice 2: (5points) 1° a) Montrer par récurrence que, pour tout entier n  0, le reste de la division euclidienne de 2 4 n par 5 est égal à 1. b) En déduire le reste de division euclidienne par 5 de chacun des nombre 2 2010 et 2 2011 2° On désigne par (x n ) et ( y n ) les suites définies sur IN par : x n = 2 n1 + 1 et y n = 2x n - 5 .Soit d n = x n  y n a) Montrer que d n = 1 ou d n = 5 b) Calculer d 2009 Exercice 4(5points) Soit u la suite définie sur IN par u 0 = 2 et u n1 = 1) a) Montrer

Suites numériques - Généralités 1.Définition Une suite numérique est la donnée d’une suite de nombres qui peuvent être logiquement déterminés ou non. On note (un) ou la suite de nombres. Par abus de langage on s’autorise aussi à la noter u, ce qui n’est pas une notation générale. Exemples : • (un) = {0 ; 1 ; 3 ; 8 ; 2 ; 11 ; 3 ; 7} est une suite (finie) de (8) nombres sans raison apparente, on n’est pas capable de décider de la valeur du terme qui viendrait après le dernier donné. • (un)