Suite définie par récurrence

Les valeurs prises par une suite sont appelées termes de la suite. Si on nomme u une suite, alors on note son premier terme, son deuxième terme, son troisième, etc. Il y a deux façons de définir une suite: - On peut donner la formule du terme général en fonction de n (pour la première suite tout en haut, on aurait ). - On peut donner son premier terme et une relation générale qui relie deux termes consécutifs. On dit alors que la suite est définie par récurrence. Pour le deuxième exemple

réponse donnée. PARTIE A Soit (un ) la suite définie pour tout n ∈ N∗ par un = (−1)n . 1. La suite (un ) est bornée. 2. La suite (un ) converge. un converge. n 4. Toute suite (v n ) à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0. 3. La suite de terme général E XERCICE 4 Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f (x) = 6 − 5 . x +1 5 points Le but de cet exercice est d’étudier des suites (un ) définies par un premier terme positif ou

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 10 10 11 13 15 17 17 18 19 22 26 26 26 28 30 31 31 32 33 35 38 38 38 40 42 44 44 45 46 47 49 1 Limites 1.1 Généralités . 1.2 Opérations . 1.3 Comparaison 1.4 Exercices . . 2 Suites numériques 2.1 Récurrence . . . . . . . . . 2.2 Propriétés des suites réelles 2.3 Existence de limite . . . . . 2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

sont-elles finies ? ∑ ∑( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ( )( ) Allez à : Correction exercice 5 Exercice 6. Existence et calcul de : ∑ ( ) Allez à : Correction exercice 6 Exercice 7. Soit ( ) une suite de réels positifs et Montrer que les séries et sont de même nature. 2 Allez à : Correction exercice 7 Exercice 8. Déterminer en fonction du paramètre la nature de la série de terme général ( ) Allez à : Correction exercice

Ceci montre que la droite (XY) est parallèle à la droite (BC). → p − BC. p+q La notion de (p : q) sous-triangle 8. Soit G l’isobarycentre du triangle ∆(ABC). On sait que zG = 9. Notons G ′ l’isobarycentre du triangle (A ′ B ′ C ′ ). zG ′ = Par suite, le (p : q) sous-triangle du triangle ∆(ABC) a le même isobarycentre que ∆(ABC). 1 a′ + b′ + c′ = 3 3 qa + pb qb + pc qc + pa + + p+q p+q p+q = 1 (p + q)a + (p + q)b + (p + q)c a+b+c = = zG . 3 p+q 3 a+b+c . 3 Etude de suites 1 1 1 (qak + pbk )

donc un+1 − un = 2n + 3. Or 2n + 3 3 > 0, donc un+1 − un > 0 quel que soit n ∈ N. Conclusion : la suite (un ) est strictement croissante. 2. a. Démonstration par récurrence : – Initialisation : u0 = 1 > 02 : vrai ; – Hérédité : supposons qu’il existe n ∈ N tel que un > n2 , alors un+1 = un +2n+3 > n2 +2n+1+2 ou encore un+1 > (n+1)2 +2 donc a fortiori un+1 > (n + 1)2 . On a donc démontré par récurrence que pour tout n ∈ N, un > n2 n→ +∞ n→ +∞ b. Comme lim n2 = +∞ on a par comparaison : lim un =

Nombreuses récurrences de phonèmes divers qui se font souvent immédiatement écho J'ai fondé sur l'abîme et l'embrun et la fumée des sables.[…] En tous lieux vains et fades où gît le goût de la grandeur. Sifflez, ô frondes par le monde, chantez, ô conques sur les eaux! ... Moins de souffles flattaient la famille Et le matin pour nous mène son doigt d'augure parmi de saintes écritures. ( mais dans cette suite II très peu de récurrences phoniques hypogrammes de la suite V) • Récurrences lexicales

] [correction] 0 +∞ Jn = 0 (on procédera par récurrence) c) En déduire dx (1 + x3 )n+1 +∞ a) Calculer J0 . b) Former une relation de récurrence engageant Jn et Jn+1 . c) Etablir qu’il existe A > 0 tel que 0 π/2 ln(2 sin(t/2)) cos(nt) dt 0 Exercice 4 On pose +∞ un = 0 0 n t − [t] 1 dt = t(t + n) n 0 [ 03584 ] [correction] +∞ t − [t] dt t(t + n) où [t] représente la partie entière de t. a) Justifier la bonne définition de la suite (un )n b) Montrer que pour tout A > 0 A sin t dt

3 4 4 4 4 Définition d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombre de termes consécutifs issus d’une même suite . . . . . . . . . . . . . Différentes façons de voir une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Suite définie à partir d’une fonction Suite récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D Algorithmes pour calcul et représentation des termes d’une suite . . . . . . . . 1 2 3 4 Approche

l’espace échantillon, l’espace des évènements - élémentaires, l’expérimental ou encore l’évènementiel. Ses points ω sont appelés observables ou évènements-élémentaires. Il est très important qu’il soit clairement défini. On peut s’exercer à définir Ω dans les 2 cas suivants : jeter 12 fois de suite la même pièce de monnaie, jeter en même temps 1 1.3. LA TRIBU DES ÉVÈNEMENTS A. 12 pièces de monnaie identiques (on admet que la pièce tombe sur pile ou sur face, et jamais sur la tranche). 1.3