Suite définie par récurrence

ci-dessous est la courbe représentative notée Cf d’une fonction f définie sur . Les droites D et  sont les asymptotes à Cf respectivement en et en . À partir du graphique et des renseignements fournis : Donner une équation des droites  et D. Quelles sont les limites de f en et en  ? Quelle est la limite en de f(x) + x - 2 ? Exercice 2 La courbe (Cu), ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction u définie sur  dans un repère orthonormé du plan, telle que . À partir du

EXERCICE 5 Partie A : Ètude de certaines propriétés de la courbe C 1) Pour x > −1, on a x + 1 > 0 et donc la fonction x → ln(1 + x) est dérivable sur ] − 1, +∞[. Par suite la fonction ln(1 + x) est dérivable sur ] − 1, +∞[ en tant que quotient de fonctions dérivables sur ] − 1, +∞[ dont le dénominateur x→ 1+x ne s’annule pas sur ] − 1, +∞[ et finalement f est dérivable sur ] − 1, +∞[. De plus, pour x > −1, 1 × (1 + x) − ln(1 + x) 1 − ln(1 + x) (1 + x)2 − 1 + ln(1 + x) 1+x f ′ (x) = 1 − =1− = . (1

naturel. Soit n ∈ . On appelle factorielle de n l'entier noté n! défini par : n! = 1 × 2 × 3 × ... × n si n Par exemple, 3! = 1 × 2 × 3 = 6. Le but de cette première partie est de se familiariser avec les factorielles. (Les quatre questions sont indépendantes) a. Calculer 4!, 5! et 6!. Démontrer que 6! × 7! = 10! (sans calculer 10! et sans utiliser de calculatrice) b. Simplifier 1 et 0! = 1 (n + 1)! . n! * c. Démontrer, par récurrence, que pour tout k ∈ , on a : k! 2k−1 d. Déterminer,

= 0 qui est vrai quel que soit t ∈ R. Ceci signifie que tout point de ∆ appartient à P 3 . Conclusion : P 1 ∩ P 2 ∩ P 3 = ∆ E XERCICE 2 Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité 1. Mise en évidence d’une relation de récurrence 2 3 2 a. On a p (E 1 ) = , p E 1 (E 2 ) = et p E 1 (E 2 ) = . 5 5 5 D’après la formule des probabilités totales appliquée à E 1 et à E 1 : 5 points p (E 2 ) = p (E 1 ∩ E 2 ) + p E 1 ∩ E 2 = p (E 1 ) × p E 1 (E 2 ) + p E 1 × p E 1 (E 2 ) =

b pour que la fonction u soit une solution de l’équation (E ). 3. Résoudre l’équation (E ′) et déterminer une solution ϕ de (E ) tel que 1 ϕ(0) = 1 et ϕ′ (0) = . 2 Partie B : 1 pt Point fixe de la fonction f x Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = (x + 1)e 2 . → − → − On note (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O, ı ,  . − 1. a. Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation sur [0 ; +∞[. 1 pt b. Etudier

d’application (ou fonction) entre deux ensembles. 1. Ensembles 1.1. Définir des ensembles – On va définir informellement ce qu’est un ensemble : un ensemble est une collection d’éléments. – Exemples : {0, 1}, {rouge, noir}, {0, 1, 2, 3, . . .} = N. – Un ensemble particulier est l’ensemble vide, noté ∅ qui est l’ensemble ne contenant aucun élément. – On note x∈E si x est un élément de E, et x ∉ E dans le cas contraire. – Voici une autre façon de définir des ensembles : une collection d’éléments qui vérifient

rue de la Folie Regnault – 75011 Paris – 01 42 05 41 36 – contact@cours-thales.fr – www.cours-thales.fr Exercice 7 : 1) 2) 3) Pour a = 2, b = 5, c = 1, d = 3 et x = −3, le programme renvoie un message d’erreur car la fonction n’est pas définie en x = −3. Exercice 8 : 1) ce qui correspond au nombre dérivée de la fonction x ↦ x² en 3, soit 6. 2) ce qui correspond au nombre dérivée de la fonction x ↦ en 1, soit . 3) Que renvoie l’instruction taux(1,0.0000001)

Chapitre 3 Raisonnement par récurrence et suites 1.  Page d’ouverture • Énigme ✱ Le calcul des puissances de n 1 sur tableur permet de 2 Ê 1ˆ conjecturer que si n pair, Á ˜ se termine par 625 (n  4) ; Ë 2¯ n Ê 1ˆ si n impair, Á ˜ se termine par 125 (n  3). Ë 2¯ À l’étape n, l’aire colorée en noir est a1 + a2 + … + an. Calcul de a1. Soit a l’aire d’un triangle noir et  l’aire de chaque zone blanche, entre le carré ABCD et le carré 1 central. Pour un petit carré : a +  = (1 carré complet)

élémentaires. Règles de dérivation 3 Équation de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Suite 1 Définition . . . . . . . . 2 Variation . . . . . . . . . 3 Suite arithmétique . . . 4 Suite géométrique . . . . 5 Visualisation d’une suite 6 Convergence d’une suite 7 Programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Soit un une suite et L sa limite. On dit que un converge vers L si et seulement si pour tout intervalle ouvert I contenant L, il contient aussi tous les termes un à partir d’un certain rang. - Toute suite convergente est bornée. - Théorème des gendarmes : Soit 3 suites un, vn et wn vérifiant : un < vn < wn à partir d’un certain rang un et wn convergents vers L et ont la même limite Alors vn est convergente et à pour limite L. - Toute suite croissante et majorée converge. - Toute suite décroissante