Tangente hyperbolique

Comment utiliser la représentation graphique d'une fonction f? rappel: l'axe des abscisses est la droite horizontale passant par O et l'axe des ordonnées est la droite verticale passant par O. A chaque valeur de x est associée une image notée f(x). On peut dans les cas les plus simples, tracer la représentation graphique de f en reliant les points de coordonnées (x; f(x)). -Si on cherche l'image de x, on place x sur l'axe des abscisses et alors il suffit de prendre l'ordonnée du point d'intersection

Limites et asymptotes A Limites et infini Soit f une fonction. 1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit f  x=∞ . que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim ∞ On définit de manière similaire : lim f  x=−∞ ( f (x) devient inférieur à – A), • x ∞ • • lim f  x=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif) x −∞ lim f  x=−∞ . x −∞

l’appliquer il faudrait faire deux cas, et changements de variables différents à chaque fois ( √ La fonction est paire, il suffit de faire une étude pour Donc est croissante sur , et et en et en faisant des ). √ en et , la courbe admet une tangente horizontale en Donc la courbe admet une asymptote horizontale d’équation On en déduit l’allure de la courbe en . . 1,2 1 0,8 0,6 0,4 xp 0,2 0 -8 -6 -4 -2 -0,2 0 2 4 Attention : La courbe à l’air d’avoir un « plat » autour de voisinage

Seconde S Contrôle de mathématiques Lundi 5 mars 2012 Exercice 1 ROC (3 points) 1) Démontrer que la fonction carré est décroissante sur R− et croissante sur R+ . 2) On donne la fonction f définie sur R par : f (x) = 2x4 + 5x2 + 1. a) Montrer que la fonction f est paire. b) Que peut-on dire de sa courbe représentative C f ? Exercice 2 Fonction du second degré (4 points) On donne la fonction f définie sur R par : f (x) = x2 − 20x + 16. 1) Montrer que la fonction f peut se mettre sous la forme :

2x 2  6x  4 x2 2. Tangentes au graphe d'une fonction. 2.1 Tangente en un point donné du graphe d'une fonction Soit à déterminer l'équation de la tangente au graphe de f2 (x) = 3x  5 au point d'abscisse 2. 1  2x 65 1   nous avons la coordonnée complète d'un point de cette droite. 1 4 3 7 Dans l'étude de la fonction, nous avons déterminé la dérivée f ' (x) = (1  2 x) 2 7 7  La pente de la tangente sera donc : f ' (2) = 2 9 (1  4) 1 7 L'équation de la tangente se détermine alors facilement

Position relative d'une courbe et d'une tangente x3 Soit f  la fonction définie sur ℝ par  f  x = −x 2−3 x1 . 3 1­ Calculer f '(x) et en déduire les variations de f . 2­ Soit Cf  la courbe représentative de f. a) Calculer les coordonnées du point A d'abscisse 1 de Cf. b) Déterminer une équation de la droite T tangente à Cf  en A. 3­ Etudier la position relative de la courbe Cf  et de la droite T. (en appelant g(x) la fonction affine représentée par T, on étudiera le signe de d(x)=f(x)­g(x))

Devoir de Mathématiques nol Durée: t heure II sera tenu compte du soin apporté à la rédaction et à Ia présentatËon. La calculatrice n'est pas autorisée. n'l Exercice : Résoudre chacune des équations suivantes 2" ^l S* -.x+-=0 Exercice n"2 : 11i b) ___=_ 3 x x+l 6 : Eéterminer le trinôme / du second degré tel que : de / admet la droite d'équation"x = *3 comme axe de symétrie, et f (2) = -1. La courbe représentative extremum qui vaut

Fonctions de référence Exercice 1 1/ Tracer dans un repère orthonormal (O ;  ; ) la courbe C représentant la fonction i définie par i(x) =  2/ Les fonctions i1 et i2 sont définies par i1(x) = + 2 et i2(x) = – 3. On appelle C1 et C2 leurs courbes représentatives. a) Par quelle transformation passe-t-on de C à C1 ? de C à C2 ? b) Tracer C1 et C2. 3/ Les fonctions i3 et i4 sont définies par i3(x) = et i4(x) = . On appelle C3 et C4 leurs courbes représentatives. a) Par quelle transformation

OP Q 3°/ La fonction tangente définit une bijection de − π , −1 1 − x2 . LM dans ℜ, dont la réciproque 2N π 2 est baptisée arctangente. Là encore, on peut déterminer la dérivée de cette fonction par le théorème des fonctions inverses : Cette fonction est dérivable, et l’on (arctan)′( x ) = plus, très utile pour vos calculs d'intégrales. 2 1 , ce qui fournit une primitive de 1 + x2 Résumé Les fonctions usuelles de l’analyse TTP 3 D) La trigonométrie hyperbolique Les fonctions sinus,

53D – , par exemple une % R S78B -perceptron multi-couches, avec une unité de On considère dans la suite un ( sortie linéaire, unités d’entrée linéaires, unités cachées munies d’une fonction d’activation sigmoïde de type tangente hyperbolique (fonction impaire). R T B SSM 3 Alors un modèle (NAR) est défini précisément par une équation du type p ¢ ' ©e a ( [2] h f h G f 4 T  e e ` c¥U§¥¢ YG$X3"5  ©8£W©VU3¡ bd ' a ` ¤ ( ' % # ¢ ¡