Tangente hyperbolique

périodique. cos est définie sur R et 2π ￿ périodique. ￿ sin x tan x = cos x Dtan = R \ π + kπ; k ∈ Z 2 1.1. GÉNÉRALITÉS Exemples 1.1.8. Fonctions hyperboliques R → R La fonction sh : est appelée sinus hyperbolique. x −x x ￿→ e −e 2 R → R La fonction ch : est appelée cosinus hyperbolique. x −x x ￿→ e +e 2 R → R La fonction th : est appelée tangente hyperbolique. x ￿→ shx chx On a : ∀x ∈ R, ch2 x − sh2 x = 1. 5 1.1.3 Fonctions périodiques, paires et impaires Définition 1.1.2. Soit f une fonction

admet une limite quand h tend vers 0, on dit que f est dérivable (ou différentiable) en x0 . Cette limite s’appelle la dérivée de f en x0 et elle se note f (x0 ). Puisque c’est la limite de la pente de la sécante, f (x0 ) est donc la pente de la tangente à C au point de coordonnées (x0 , f (x0 )). On a donc : f (x0 + h) − f (x0 ) f (x0 ) = lim h→0,h=0 h Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 4 section suivant y Définition des dérivées f(x0 +h) f(x0 ) x0 x0 +h x

43 4.2 Le logarithme naturel r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3 Les fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.4 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5 Calcul diff´ erentiel 5.1 Diff´erentiation 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 La d´eriv´ee d’une fonction r´eelle

a 3.3.2 Fonctions puissance xα = eα ln x . . . . 3.3.3 Fonctions hyperboliques et circulaires Fonctions circulaires . . . . . . . . . . Etude des fonctions hyperboliques . . Trigonom´trie . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.4 Fonctions circulaires r´ciproques . . . e Fonction arcsin . . . . . . . . . . . . . Fonction arccos . . . . . . . . . . . . . Fonction arctan . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Fonctions hyperboliques r´ciproques . e Fonction argsh . . . . . . . . . . . . . Fonction

a 3.3.2 Fonctions puissance xα = eα ln x . . . . 3.3.3 Fonctions hyperboliques et circulaires Fonctions circulaires . . . . . . . . . . Etude des fonctions hyperboliques . . Trigonom´trie . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.4 Fonctions circulaires r´ciproques . . . e Fonction arcsin . . . . . . . . . . . . . Fonction arccos . . . . . . . . . . . . . Fonction arctan . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Fonctions hyperboliques r´ciproques . e Fonction argsh . . . . . . . . . . . . . Fonction

sur le bord. Cette 2 condition, très forte, implique 2 : w1 = w3 = 0 Intéressons nous maintenant à w2 .Les conditions sur les côtés horizontaux de K donnent : ∀x ∈ [0, 1], w2 (x, 0) = w2 (x, 1) = 0 w2 est un produit de fonctions sinusoïdales, hyperboliques ou anes (voir calcul cidessus). La condition précédente implique que w2 est de la forme : w2 (x, y) = sin(kπy)(A cosh( Comme w2 est nulle sur C4 , on a : kπx kπx ) + B sinh( )) n n ∀y ∈ [0, 1], w2 (0, y) = 0 2 Pour s'en convaincre,

ion Démontrer le calcul de cos(a-b) | Définir les propriétés immédiates des logarithmes en base a | Démontrer la formule de la dérivée de arcsin | Trouvez les racine de la dérivée de sin x + cos 2x . | Démontrer la formule de la dérivée de arccos | Faites un tableau du type : | arctg | arccotg | définition | | | schéma | | | dérivée | | | | Démontrer la formule de la dérivée de arctg | Quelle est la formule de tg (a+b) : | Démontrer la formule de la dérivée de arccotg | Ѵ5=

y = 0 (dans F(R,R)), en e e R → R d´duire que V = Vect(f0 ) avec f0 : e x → cos x − π 4 Exercice 4 1. (a) Rappeler le d´veloppement limit´ ` tout ordre de la fonction exponentielle en 0. e ea (b) Rappeler la d´finition de la fonction cosinus hyperbolique puis en donner le d´veloppement limit´ ` e e e a l’ordre 2n en 0 pour tout entier n. Pr´ciser en particulier le d´veloppement ` l’ordre 4. e e a 2. Soit f : R∗ → R d´finie par ∀x = 0, f (x) = (ch x)1/x . e (a) D´terminer le d´veloppement limit´

strictement croissante sur [0, +([ ; h(0) = 1, lim(( ch = +(, lim+( ch = +(. 6. Pour tout x appartenant à R, ch(x) ( sh(x) = e(x > 0, donc ch(x) > sh(x) 7. Les fonctions ch et sh que nous venons d'étudier sont les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique. Leurs représentations graphiques traînent un petit peu partout. Par exemple, on appelle chaînette la représentation graphique de la fonction ch, pour une raison que je vous laisse deviner (pas parce ch comme chaînette...). Et pourquoi

|Mathématiques |Correction du Devoir Commun n°4 |Troisième | Exercice n°1 : 1°) (x-3)(x+7)=x2+7x-3x-21=x2+4x-21 2°) (a+6)2=a2+12a+36 3°) (y-0,3)2=y2-0,6y+0,09 4°) (10b-7)(10b+7)=100b2-49 5°) (9+2a)-(9-2a)=9+2a-9+2a=4a Exercice n°2 : 1°) 7k-ky+k2=k(7-y+k) 2°) 9x2+30x+25=(3x+5)2 3°) (7a-5)(9a+2)-4(7a-5)= (7a-5)[(9a+2)-4]=(7a-5)(9a-2) 4°) (10y-7)2-16=(10y-7)2-42= [(10y-7)-4][(10y-7)+4]=(10y-11)(10y-3)