Tangente hyperbolique

EXERCICE 1 : EFFORT NORMAL : STRUCTURE EN ARC + TIRANT ARC SANS FLEXION : RUPTURE+CONTRAINTES+FLUAGE TIRANT : RUPTURE + CONTRAINTES 1.Enoncé La structure étudiée est représentée aux figures 1 et 2. Les arcs sont en forme de chaînette (cosinus hyperbolique); des charges uniformément réparties verticales provoquent donc un état de compression simple (sans flexion, ni effort tranchant). On suppose que les arcs sont articulés à leur base. On suppose que les efforts de réactions horizontaux des arcs

v  sin u sin v  sin u cos v  1 2 1 2 1 2 cos u  v  cos u v cos u  v cos u v sin u  v  sin u v shiz i 4/Faire le lien avec les formules de trigonométrie hyperbolique en utilisant: cos z chiz et sin z  pour tout z de C. S’exercer à réécrire toutes les formules précédentes en trigonométrie hyperbolique avec cette règle. Formulaire Développements Limités en 0 classiques (en 6mn12) en (Faire le lien éventuel avec les DSE). La base de ces développements: le théorème

produit en somme) mais lui-même ne voit pas le lien avec les logarithmes inventé par Napier et c'est son disciple Alphonse Antoine de Sarasa qui l'explicitera en 1649. La fonction ln s'est d'ailleurs appelée un certain temps fonction logarithme hyperbolique compte tenu de sa découverte comme aire sous l'hyperbole. Le terme de logarithme naturel apparaît pour la première fois dans une note de Nicolaus Mercator en 1668, quand celui-ci met en place sa série de Mercator. Sa série exploitée par Newton

Calcul d’intégrales - Intégration par parties Cours CHAPITRE 17 : CALCUL D’INTEGRALES INTEGRATION PAR PARTIES Dans ce cours, nous disposons de trois techniques de calcul d’intégrales : 1) primitivation par lecture directe dans une table 2) par transformations d’écriture 3) par intégration par parties 1. Primitivation par lecture directe dans une table Exemple calculer l’intégrale I = ∫ π/4 0 sin x dx cos 2 x sin x  π On note f la fonction définie sur  0,  par

sin(Arccos(x)) = (Arccos)'(x) = * Arcsin x [-1,1], cos(Arcsin(x)) = = Arccos(x) + Arcsin(x) (Arcsin)'(x) = * Arctan x 0, Arctan(x) + Arctan() = (signe(x)). cos(Arctan(x)) = sin(Arctan(x)) = (Arctan)'(x) = III. Fonctions hyperboliques * Directes - Généralités ch(x) = sh(x) = th(x) = ch(-x) = ch(x) sh(-x) = -sh(x) ch(x) + sh(x) = ex ch(x) - sh(x) = e-x ch²(x) - sh²(x) = 1 1 - th²(x) = (ch)'(x) = sh(x) (sh)'(x) = ch(x) - Addition ch(A + B) = ch(A).ch(B) + sh(A)

exponentielle est définie et dérivable sur \mathbb{R}. \exp'(x) = e^x \begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x &-\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline \niveau{2}{2}e^x & 0 & \croit & 1 & \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar} La courbe admet une tangente de coefficient directeur 1 au point de coordonnées (0 ; 1) et de coefficient directeur e au point de coordonnées (1 ; e). Limites de e^x aux bornes de son ensemble de définition Propriétés \displaystyle \lim_{x \to + \infty} e^x = + \infty

Séries entières 1 Dénitions Dénition d'une série entière : Sit (an ) une suite de nombres complexes, la série entière de la variable complexe z associée à la suite notée : (an ) est la série de fonction de C dans C an z n Lemme : Soit une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 ) est bornée, alors pour tout nombre complexe z, an z n = O(| zz0 |n ) an z n Théorème : lemme d'Abel Soit an z n une série entière et

Amélioration de la précision (correcteur PI) 1. Correcteur P.I. (actions proportionnelle et intégrale) |Ce correcteur permet un changement de classe de l'asservissement (de la|[pic] | |classe 0 à la classe 1) donc permet une amélioration très sensible de |  | |la précision (plus d'erreur de position). | [pic]

PRELIMINAIRES ² On notera qu'il est dit dans la troisiµme partie que N1 (f ) · 2N 2 (f ) , ce qui donne un contr^ le (trµs partiel) des calculs e o e des deux premiµ res parties. e ² Dans tout le problµme je note Á les fonctions auxiliaires introduites . e ² J'utilise r¶guliµrement la propri¶t¶: Si Á est continue positive sur R +¤ , si Á se prolonge par continuit¶ en 0 et si e e ¢ e e e ¡ limt!+ 1 t2 Á(t) = L 2 R alors Á est int¶grable sur R +¤ . En e®et les deux premiµres hypothµses assurent l'int¶

Int´gration e 1 D´finition de l’int´grale e e D´finition 1 F est une primitive de f sur l’intervalle I si F est d´rivable sur I et si e e ∀x ∈ I : F (x) = f (x) Th´or`me 1 Toute fonction d´rivable sur un intervalle I admet des primitives sur I. e e e Th´or`me 2 Si F et G sont deux primitives de f sur l’intervalle I, il existe une constante C telle que e e ∀x ∈ I : F (x) = G (x) + C D´finition 2 Soit f une fonction d´rivable sur [a; b] et soit F une primitive de f sur [a; b] . e