Théorème d'Abel

+ bn sin(nωx)| ≤ |an | + |bn |. Proposition 3.1.2 Si les suites numériques (an ) et (bn ) sont décroissantes et tendent vers 0, alors 2kπ la série trigonométrique (1) est convergente pour x où k ∈ Z. ω Preuve : C’est une application direct du théorème d’Abel. Pour cela il suffit tout simplement de montrer que les sommes suivantes sont majorées indépendamment de m et n; n ≤ m. p=m p=m cos px C= On a pour t sin px. S= p=n p=n 2kπ où k ∈ Z : p=m C + iS p=m cos pt + i = p=n p=m sin pt = p=n

83 83 84 87 89 6 Mystification numérique 7 Petites histoires, anecdotes 7.1 Les histoires de VON NEUMANN . . . 7.2 ... Et les autres. . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 L’histoire de 2 + 2 = 5 . . . . . . . . . . . 7.4 La preuve ultime du Dernier Théorème de 8 Paradoxes 8.1 Les paradoxes de Zénon . . . . . . . 8.2 Le paradoxe des anniversaires . . . . 8.3 L’interrogation surprise . . . . . . . 8.4 La vie sur Ganymède . . . . . . . . . 8.5 2 = 1, ou 1/0 . . . . . . . . . . . . . 8.6 Le développement

CONTINUITE ET INTEGRATION Théorème 0.1 (Continuité) I est un intervalle de R, a ∈ I et (fn )n une suite de fonctions définies de I dans R telle que : i) fn −→ f CU (converge uniformément) ii) ∀n ∈ N : fn continue en a Alors : f est continue en a Théorème 0.2 (généralisation) (fn )n une suite de fonctions fn : [a, b] → R. On suppose : i) fn −→ f CU (converge uniformément) dans [a, b] ii) ∀n ∈ N : fn continue dans [a, b] Alors : f est continue dans [a, b] Théorème 0.3 (CU et intégrabilité) (fn

: ! x " !, F '(x) = 3x 2 + cos x = f (x) . Donc F est bien une primitive de f sur ! . Remarque : si l’on choisit F(x) = x 3 + sin x + 11 , la dérivée d’une fonction constante étant nulle, F est aussi une primitive de f. D’où le théorème suivant : Théorème : Si f admet une primitive sur un intervalle I alors elle en admet une infinité. Ce sont toutes les fonctions du type F + c où c est une constante réelle. Démonstration : Soient F et G deux primitives de la fonction f sur I. Alors : ! x

Vérifier que pour tout entier[pic], [pic] puis démontrer que [pic]. d) En utilisant l’inégalité précédente, pour [pic], établir que [pic] puis que pour tout entier[pic], [pic]. e) Déterminer alors la limite de [pic]. 11) En utilisant un théorème de comparaison, déterminer la limite en [pic] des fonctions suivantes a) [pic]. b) [pic]. c) [pic]. d) [pic] 12) Déterminer la limite en [pic] et [pic] des fonctions suivantes a) [pic]. b) [pic] c) [pic] d) [pic]

Paola Le Bleis LA RELATION LOGIQUE Pour permettre de créer une relation logique entre des propositions, il faut utiliser des connecteurs logiques. Vous avez donc le choix entre des adverbes, des prépositions, des conjonctions de coordination et des conjonctions de subordination. Et vous pouvez bien sûr remplacer chacune de ces classes grammaticales (nature) par une autre de même sens. Ainsi, lorsque l’on vous demande : «Il préféra rester malgré des heures d’attente » : quelle est la relation

parties du raisonnement est indispensable Citer l’ensemble des conditions nécessaires pour l’application d’un théorème ou d’une formule Faire preuve de rigueur Soigner la présentation globale de la copie Bien répartir son temps Prendre 10 à 20 minutes en fin d’épreuve pour la relecture Rappels avant l’épreuve de mathématiques du bac S 2011 : Faire des fiches avec les théorèmes et formules pour chaque chapitre Savoir parfaitement utiliser les fonctions de calcul et graphiques des calculatrices

développée par Markowitz et à une de ses extentions, le théorème des deux fonds. Dans la première section est présenté le cadre économique de cette théorie du portefeuille. Puis la notion de portefeuille efficient est exposée. Les mécanismes de gestion du risque implicites à l’approche de Markowitz sont ensuite précisés. L’ensemble des opportunités du marché, la frontière des portefeuilles efficients, est ensuite caractérisé. Enfin, la théorème des deux fonds, dont le corollaire est l’optimalité de la

hypothèses. 1/11 n'existe pas d'expérience en mathématiques : pas de recours aux faits. « Les mathématiques sont une science hypothético-déductive. » (R. Blanché) 2/ Dire qu'une proposition mathématique est vraie dans une théorie (= qu'elle est un théorème de cette théorie), c'est démontrer qu'elle découle nécessairement des postulats de cette théorie. 3/ ILn'y a donc mathématiquement pas de sens à se demander si les hypothèses sont vraies, ni donc si la théorie est vraie. En mathématiques, la notion

« témoignages étranger » (ligne 9), il n’y a donc rien de réellement concret, qui ne désigne rien de réel. Ensuite il y a les sciences exactes, comme notamment les mathématiques qui d’après l’auteur semble être une « évidence des concepts » car les théorèmes et les démonstrations ne sont pas irréel, mais elles sont bien crée depuis longtemps, et suscite la « nécessité de la démonstration » s’il n’y a pas de démonstration dans les mathématiques, le raisonnement qui consiste à établir la vérité d’une proposition