Théorème d'Abel

des postulats. Ces propositions évidentes ou antérieurement démontrées (pour les postulats uniquement), alliées aux règles de la logique, permettent de parvenir à de nouvelles affirmations par déduction. Mais comme nous l’a démontré Gödel dans son théorème d’incomplétude, un système d’axiomes n’est jamais complet, c’est-à-dire qu’il n’est en aucun cas capable de démontrer toutes les affirmations vraies. Ainsi, si l’on se place dans le système axiomatique de la géométrie euclidienne, il n’existe pas

et de la bijection à l’aide des symboles :  Une application : ? = ? ⟹ ? ? = ? ? .  Une injection : ? ? = ? ? ⟹ ? = ? ?? ? ≠ ? ⟹ ? ? ≠ ? ? .  Une surjection : ∀??? ∃? ∈ ? ??? ??? ? = ? ? .  Une bijection : ∀??? ∃! ? ∈ ? ??? ??? ? = ? ? . Théorème : Une application est bijective ssi elle admet une réciproque. Pour la démonstration on utilise les deux lemmes suivants. Lemme 1 : si gof est injective alors f est injective. Lemme 2 : si gof est surjective alors g est surjective. IV. Relations

FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES 1. De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien 1.1. Théorème La fonction exponentielle (de base e) est continue, strictement croissante sur  et : lim ex = 0 et x ® -¥ lim ex = +¥ x ® +¥ Démonstration : · Continuité La fonction exponentielle est solution, sur , de l'équation différentielle y' = y. Elle est donc nécessairement dérivable sur  et par conséquent continue sur . · Stricte monotonie La

connaissances résultant de raisonnements logiques appliqués à divers objets, comme les nombres, les figures géométriques etc. Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport au réel. Un énoncé mathématique est généralement basé sur un théorème, une proposition ou une méthode de calcul, appelé démonstration ou raisonnement. L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à l’Amérique centrale. Jusqu'au 17e siècle

suffisamment grand donc il en est de même pour un qui est toujours plus grand que vn. Or lim vn = lim n2 = + » , donc par comparaison, n Æ+» n Æ+» lim un = + ». 10 a) n  6 donc n – 6  0 Donc n3 + n – 6  n3 un  n3 b) D’après un théorème de comparaison, lim un = + » n Æ+» 11 a) Pour tout nombre entier naturel n, vn – n = (n2 – n – 1) n . Or, n2 – n – 1 est un trinôme du 1+ 5 1- 5 second degré dont les racines sont et 2 2 donc n2 – n – 1  0 à partir de n = 2. b)  lim

géométrie, ou bien algèbre, analyse, géométrie et probabilités. De tels découpages ne sont pas évidents et les frontières les séparant sont toujours mal définies. En effet, de nombreux résultats font appel à des compétences mathématiques variées. Le théorème de Wiles, établi en 1994, en est un exemple. Bien que formulée de manière dite arithmétique, la preuve nécessite de profondes compétences en analyse et en géométrie. Domaines fondamentaux[modifier | modifier le code] L'algèbre est l'ensemble des

l'égalité de la propriété 4 sont les deux résolutions du croisement à gauche de l'égalité. Exemple: Figure 17: Calcul du crochet de Kauman de l'entrelacs d'Hopf Question: Est-ce que c'est un invariant de noeud ?? NON, car 10 −A3 = ∞ = Théorème: Dém: (II): O =1 ··· est invariant par des mouvements de Reidemeister de type II et III. Figure 18: Démonstration de l'invariance du crochet vis-à-vis du mvmt de Reidemeister II Figure 19: Démonstration de l'invariance du crochet

Logique et raisonnement ∗ ∗ ∗ I. Éléments de logique 1. Propositions Définition 1. On appelle proposition tout énoncé mathématique qui est soit vrai soit faux. Remarque 1. 1. Si P est une proposition, on écrit P pour dire « P est vraie ». 2. Si P (x) est une proposition dépendant de x, elle sera vraie ou fausse suivant les valeurs de x : soit E un ensemble, on écrit « ∀ x ∈ E, P (x) » pour dire que « P (x) est vraie pour toute valeur de x dans l’ensemble E ». Exemples 1. 1. La proposition ∀

efforts à la production de vaisselle et à laisser à d'autres le soin de produire du pain. En appliquant ce principe au cadre des pays, David Ricardo (1772-1823) construit en 1817 un argument majeur en faveur du libre-échange, et, au-delà, l'un des théorèmes les plus implacables et contre-intuitifs de l'économie moderne. Se souvenant avoir été mis au défi par un ami mathématicien, sceptique quant au caractère scientifique de l'économie, de nommer une proposition en sciences sociales « à la fois vraie

peuvent aussi être obtenus par des considérations relevant des systèmes dynamiques. La géométrie différentielle se situe à la frontière de la géométrie et de l'analyse, et ce à plusieurs égards. La définition de ces objets d'étude fait appel aux théorèmes de calcul différentiel, mais l'étude elle-même est grande consommatrice d'analyse. Des liens entre géométrie différentielle et probabilités existent aussi. La géométrie algébrique est l'exemple d'un domaine en un sens strict à la rencontre de l'algèbre