Théorème d'Abel

. . . . . . . . . . 1.8.2 Extrema globaux . . . . . . . . . . . 1.9 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Théorème des Fonctions Implicites . 1.9.2 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Intégrales multiples 2.1 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . 2.1.1 Exemple introductif . . . . . 2.1.2 Théorème de Fubini . . . . . 2.1.3 Changement de variables . . . 2.1.4 Intégrales doubles généralisées 2.2 Intégrales triples . . .

restent valables. 3. La densité de probabilité de la loi normale centrée réduite N(0,1) est une fonction dont +∞ l’intégrale sur IR converge et vaut 1. On a : −∞ ∫ 1 2π e dt = 1 2. Convergence d’intégrales dépendant d’un paramètre Théorème (admis) : Soit n un nombre entier naturel et soit λ un nombre complexe. +∞ Si λ ∈ IR, Si λ ∈ Ê, ∫t n λt e dt converge si et seulement si λ < 0. 0 +∞ ∫t 0 n λt e dt converge si et seulement si Re(λ) < 0. Exercice : Etudier

7x − 4y = 1, où les inconnues x et y sont des entiers relatifs. 1. Le couple (−1 ; −2) est un couple solution. 2. On a donc : 7 × (−1) − 4 × (−2) = 7x − 4y = 7(x + 1) = 4(y + 2) (1). 1 ⇒ (par différence) 7(x + 1) − 4(y + 2) = 0 ⇐⇒ 1 D’après le théorème de Gauss, 7 divise 4(y +2) mais est premier avec 4 : il divise donc y + 2 ; il existe donc k ∈ Z tel que y + 2 = 7k ⇐⇒ y = 7k − 2. En reportant dans (1), 7(x + 1) = 4 × 7k ⇐⇒ x + 1 = 4k ⇐⇒ x = 4k − 1. Les couples solutions sont de la forme (4k −

Thalès ne se sont pas levés un matin en se disant : « Je vais faire un théorème ce matin ». Les mathématiques et leurs théorèmes existent car ils répondent à une nécessité, c’est un peu comme la loi de l’offre et de la demande en économie. Depuis toujours on désirait mesurer la hauteur des pyramides d’Egypte, plus particulièrement celle de Kéops, mais comment faire ? C’est là que Thalès est arrivé en inventant son fameux théorème en utilisant l’ombre de la pyramide pour trouver une hauteur de 147m

a g  1 • Si lim g = 0 et g > 0 alors = lim = + ∞ . a a g 1 • Si lim g = 0 et g < 0 alors = lim = − ∞ . a a g • Si lim g = − ∞ alors = lim 1 = 0 . a a g 1 • Si lim g = + ∞ alors = lim = 0 . a a g Il est essentiel de garder à l’esprit que ces théorèmes sont des conditions suffisantes. Les cas non envisagés sont des « formes indéterminées » qui demandent à être étudiées cas par cas. © Tous droits réservés Studyrama 200 Fiche téléchargée sur www.studyrama.com En partenariat avec : 2

Constitution écrite : La constitution écrite donne lieu à l’établissement d’un document écrit. Elle est la forme moderne de la Constitution. L’écrit donne des facilités de preuve, des garanties de certitude, de protection contre l’arbitraire, de sécurité Constitution coutumière : Dans le passé, en l’absence de textes, il n’y avait pas de règles qui s’imposaient au pouvoir. L’organisation de la société, le statut des institutions sont fixés par la coutume. En effet, toutes les constitutions

AB Le point G appartient donc au segment [AB] II- Barycentre de trois points massifs 1) Définition : un point massif est un couple (M; k) constitué d’un point M et d’un réel k. On dit aussi point pondéré ou affecté d’un coefficient. 2) Théorème et définition : Soient: {(A; a) (B; b) (C; c)} Un système de trois points massifs tel que la somme a + b + c soit non nulle: Il existe alors un point G et un seul tel que : a _GA + b _GB + c _GC = »£0 G est appelé le barycentre

i=1 (xi x)2 6= 0 Propriétés statistiques des MCO 13 L’ estimateur ^ 1 est donc égal à la somme de la vraie valeur de 1 dans la population et une combinaison de termes aléatoires. L’ estimateur ^ 1 est donc une variable aléatoire. Théorème 1 (absence de biais des MCO): les estimateurs des MCO sont non biaisés: E( ^ 0 ) = 0 Les démonstrations qui suivent sont basées sur la transformation suivante: PN x)(yi y) i=1 (xi ^ = PN 1 x)2 i=1 (xi PN PN x)yi x)y i=1 (xi i=1 (xi = PN x)2 i=1

Analyse Complexe, de Fourier, Hilbertienne Cours de DEA, 1er semestre 2003-04 Jean-François Burnol version du 23 juin 2004 1. Résumé du cours. Mots-clés : Espaces de Hardy, factorisation, théorèmes de Beurling. Théorèmes de Wiener et de Paley-Wiener. Théorèmes de Beurling-Lax. Fonctions de Nevanlinna. Théorème de Kre˘ ın. 2. Énoncé et corrigé du devoir à la maison. 3. Énoncé et corrigé de l’examen. 4. Énoncé de l’examen de rattrapage. Ce résumé suit de très près le déroulement réel du cours, d’octobre

Notion de base de logique mathématique | Vocabulaire : Proposition : phrase qui représente une affirmation, un événement, une propriété. Axiome : proposition évidente par elle même et qui n'est pas démontrable. Théorème : proposition qui peut être démontrée. Lemme : proposition auxiliaire pour faciliter la démonstration d'une autre proposition. Conjecturer : fonder son opinion sur des apparences, avoir une idée de la propriété sans l'avoir démontré. Incompatibles : deux propositions sont