Théorème de Bolzano-Weierstrass

Droite achevée c) Partie entière 3) Intervalles 4) Suites II : Limite d'une suite 1) Préambule 2) Un exemple historique 3) Définitions 4) Opérations sur les limites 5) Inégalités et limites 6) Suites monotones 7) Suites adjacentes 8) Théorème de Bolzano–Weierstrass III : Suites particulières 1) Suites arithmétiques 2) Suites géométriques 3) Suites arithmético–géométriques 4) Suites récurrentes linéaires 5) Suites récurrentes 6) Suites homographiques IV : Comparaison des suites numériques 1) Suites

Avertissement Ces notes ont été redigées pour servir de support au cours M11 “Analyse réelle I ”, enseigné aux étudiants de la première année de la licence STS, mention mathématiques. Il s’agit d’un résumé du cours. Ainsi, les démonstrations des théorèmes ne sont par reportées ici, mais elles sont développées pour la plupart pendant le cours. Il ne faut donc pas considérer ces notes comme un texte de référence et les étudiants sont fortement invités à consulter des livres d’analyse. Ces notes contiennent

peut-ˆtre en quelques points exceptionnels. Cela e e e dura jusqu’` la moiti´ du dix-neuvi`me si`cle quand, apr`s un exemple para e e e e tiellement discut´ par Charles Bolzano et un travail non publi´ de Charles e e Cell´rier, le premier exemple rigoureusement trait´ de fonction continue nulle e e part d´rivable fut publi´ par Karl Weierstrass en 1872. Il s’agit de la s´rie e e e ∞ ak cos bk 2πx k=1 avec certaines conditions sur a et b : b doit ˆtre un entier impair et a un r´el e e tels que 0 <

). 2 f est strictement décroissante dur D1 si ∀(x, x￿ ) ∈ D1 , x < x￿ ⇒ f (x￿ ) < f (x). f est monotone sur D1 (resp. strictement monotone sur D1 ) si f est croissante ou décroissante sur D (resp. strictement croissante ou décroissante sur D1 ). Théorème Soit f : D → R strictement monotone sur D. On a : 1. f est une bijection de D sur f (D) et admet une fonction réciproque notée f −1 . 2. f −1 est une bijection strictement monotone de f (D) sur D, f −1 a même monotonie que f . 3. Dans un plan

mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstration. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Indiens connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π et de racine carrée de

Espaces vectoriels norm´s e 2 IV. Suites extraites, compacit´ e 1) Valeurs d’adh´rence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2) Parties compactes d’un evn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Th´or`me de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 29 31 32 ´ C. Etude locale d’une application, continuit´ e I. Limite d’une application 0) Images directes et r´ciproques . . . . . . . . . . . e 1) D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E/R. Curiosités – – – – – – La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel-Skolem avec l’axiome du choix (ZFC). Les axiomes de Peano. Indécidabilité et théorèmes d’incomplétude de Gödel. Le théorème de Cantor : il n’existe pas de surjection de E sur P(E). Le lemme de Kuratowski-Zorn : tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal. Le théorème de Zermelo : tout ensemble peut être muni d’une structure de bon ordre. TrigoFACILE — http://www.trigofacile.com/ 3 A.2 Ensembles finis, monoïdes

exponentielle, logarithme, th´or`me de Caue e chy, principe du maximum, th´or`me de Liouville, indice, singularit´s, fonctions m´romorphes, fonction e e e e ℘ de Weierstrass, produit infini, th´or`me des r´sidus, fonction zˆta de Riemann, th´or`me des nombres e e e e e e premiers. La figure de couverture repr´sente la fonction ℘ de Weierstrass et a ´t´ dessin´e par Olivier Elchinger. e ee e 10 mai 2011 ANALYSE COMPLEXE Mich`le Audin e R´sum´. Ces notes de cours sont une introduction `

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Espaces d’applications continues 5.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . e e e 5.2 Equicontinuit´ . . . . . . . . . . . e 5.3 Le th´or`me d’Ascoli . . . . . . . . e e 5.4 Le th´or`me de Stone-Weierstrass . e e 6 Les 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . 1 1 1 7 13 17 22 25 30 35 35 52 69 82 92 101 117 Dérivation 129 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 II.1 Dérivée d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 II.2 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Problèmes d’Analyse II, Continuité et dérivabilité II.3 Formule de Taylor et règle de L’Hospital . . . . . . II.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.5 Applications