Théorème de Bolzano-Weierstrass

Cinématique 3.2 Changement de référentiel 3.3 Lois générales de la mécanique 3.4 Oscillateurs 3.5 Mouvement d’une particule chargée 3.6 Systèmes de deux points matériels 88 88 90 91 95 98 99 4. Mécanique du solide 4.1 Cinématique du solide 4.2 Théorèmes généraux de la dynamique 4.3 Contacts entre les solides 101 101 103 104 5. Optique 5.1 Généralités 5.2 Optique géométrique 5.3 Interférences lumineuses 5.4 Interféromètre de Michelson 5.5 Autres dispositifs d’interférences 5.6 Diffraction des ondes

Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. • Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 3.3 Droite numérique achevée Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nouvel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés −∞ et +∞ . On prolonge à R la relation

de Riemann dépendant d’un paramètre 7.1 Théorème de convergence bornée . . . . . . . . . . . . 7.2 Continuité de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . 7.3 Dérivabilité de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . 7.4 Cas où les bornes d’intégration dépendent du paramètre 7.5 Exercices sur le chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Corrigé des exercices sur le Chapitre 7 . . . . . . . . . Intégrales généralisées dépendant d’un paramètre 8.1 Théorème de convergence dominée . . . . . . . 8.2

3 Un théorème est une proposition vraie particulièrement importante. Un lemme est une proposition vraie, utile à la démonstration d’une proposition plus importante. Un corollaire est une proposition vraie, conséquence immédiate d’une autre proposition vraie. Une conjecture est une proposition qu’on pense généralement vraie, sans en avoir de preuve. Exemples : – « l’axiome de récurrence » dans N, « l’axiome de la borne supérieure » dans R. – « le théorème de Pythagore », le « théorème de Rolle

fonctions Preuve du caractère C ∞ d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dérivation, développements limités Approximation de la constante d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites numériques, théorème des accroissements finis Une construction de la fonction exponentielle népérienne . . . . . . . . . . . . . . . Dérivation, récurrence Arithmétique, dénombrement 43 44 Groupes à 2, 3, 4 éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

exemples les interactions mentionnées plus haut : 1. Convexité : Celle-ci apparaît notamment avec le théorème de Hahn-Banach. Ce dernier débouche sur la construction de moyennes invariantes (« moyennabilité » du groupe des entiers) aussi appelées moyennes de Banach au chapitre III. Ces moyennes à leur tour sont utilisées au chapitre V pour démontrer le théorème de similarité de Nagy. Ce théorème intervient lui-même au chapitre X pour donner une caractérisation complète des opérateurs ayant une «

. . . . . . . . . . 1.8.2 Extrema globaux . . . . . . . . . . . 1.9 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Théorème des Fonctions Implicites . 1.9.2 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Intégrales multiples 2.1 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . 2.1.1 Exemple introductif . . . . . 2.1.2 Théorème de Fubini . . . . . 2.1.3 Changement de variables . . . 2.1.4 Intégrales doubles généralisées 2.2 Intégrales triples . . .

est un minorant ; ∀ε > 0 ∃ x ∈ A x < m + ε, c'est-à-dire que m + ε n'est pas un minorant. Remarque Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 8 Analyse en 30 fiches 1 Application Soit E la partie de R définie par : E = n− n+ 1 n 1 n ; n ∈ N∗ .

Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. • Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 3.3 Droite numérique achevée Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nouvel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés −∞ et +∞ . On prolonge à R la relation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Systèmes stochastiques 77 3.1 Introduction aux probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3 Le théorème central de la limite et les lois fortes des grands nombres 99 3.4 Espérances conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.5 Loi de Poisson et loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.6 La loi du Chi deux . .