Théorème de Cauchy-Lipschitz

2. A quelle condition sur α, β , fα,β est-elle d’ordre fini ? [002993] Exercice 2994 Théorème de Lagrange Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. On définit une relation sur G par : ∀ x, y ∈ G, x ∼ y ⇐⇒ ∃ h ∈ H tel que x = hy. 1. Montrer que ∼ est une relation d’équivalence. Quelle est la classe de e ? 2. Soit a ∈ G. Montrer que a est équipotent à H. ˙ 3. En déduire que Card H divise Card G (Théorème de Lagrange). [002994] Exercice 2995 Relation d’équivalence avec deux sous-groupes Soient

d’erreur 7 second terme est plus petit que Kη pour une certaine constante K > 0. Au final, on a (1.1) avec M = K + 1. Un second résultat, très important, est le suivant : la stabilité et la consistance impliquent la convergence. C’est un méta-théorème de l’analyse numérique, qui doit cependant être vérifié au cas par cas. Esquissons la structure de la preuve (nous verrons un cas particulier en Section 3.3.2). Rappelons tout d’abord qu’il suffit de montrer des estimations du type (1.2). On a x(d +

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equations différentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Quelques problèmes types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Le problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Méthodes d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Méthode de Crank-Nicolson

6 4.3 Exemples d’utilisation de la formule d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Formule d’Itô multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equations différentielles stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Théorème d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Le processus d’Ornstein-Ulhenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Equations différentielles stochastiques à valeurs vectorielles . . . . . . 5.4 Propriété de Markov des

. . . . . . . . . . . . . 4 Bases, dimension et sous-espaces 4.1 Bases et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Familles libres, liées, génératrices, bases . . . . . 4.1.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . 4.1.3 Théorème de la base incomplète et conséquences 4.1.4 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . 4.1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Sous espaces vectoriels supplémentaires, orthogonalité . 4.2.1 Somme et intersection de deux

Rappels généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Pour les racines d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Division euclidienne 5 1.2.3 Théorème de Weierstrass 1.3 Polynômes de Lagrange 1.4 Polynômes de Newton 1.5 * Polynômes d'Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . . .

données, il existe une unique fonction S de P13 vérifiant S(xi ) = yi , S (xi ) = yi , 0  i  n S est la spline cubique de classe C 1 interpolante. On considère P23 = S ∈ C 2 ([a, b]) : S |[xi ,xi+1 ] ∈ P3 , 0  i  n − 1 , nous allons montrer le théorème suivant (démonstration dans le cas où xi+1 − xi est constant). Pour tout ensemble de n + 3 données y0 , y0 , y1 , y2 , . . . , yn−1 , yn , yn , il existe une unique fonction S de P23 vérifiant : S(xi ) = yi , 0  i  n, S (x0 ) = y0 , S (xn ) =

est dans la constante cachée par l’expression O(n). Cette constante dépend de la précision ε à atteindre. Pour une dimension donnée, il est fréquent qu’une méthode numérique atteigne la précision ε en un temps O(log(ε−1 )). Pour une raison liée au théorème central limite, les méthodes de Monte Carlo atteignent la précision ε en O(ε−2 ), ce qui est très lent.” • méthode déterministe K · log(ε−1 ) · n2 , • méthode de Monte Carlo K · ε−2 · n. “C’est donc dans le cas où la taille n du problème est très

solutions. On appelle e e e e courbe int´grale de l’´quation diff´rentielle, une courbe repr´sentative d’une solution y ∈ S E . e e e e D´finition 4.3 : Probl`me de Cauchy e e Soit F : R×R×I → R une fonction de trois variables o` I est un intervalle de R. Soit (t 0 ,y0 ) ∈ I×R. u On dit qu’une fonction y : I → R est solution du probl`me de Cauchy : e (C) F (y ,y,t) = 0 y(t0 ) = y0 si et seulement si : 1. y est une fonction d´rivable sur l’intervalle I ; e 2. ∀t ∈ I, F (y (t),y(t),t) = 0 ; 3. y(t0 ) =

appelle e e e e courbe int´grale de l’´quation diff´rentielle, une courbe repr´sentative d’une solution y ∈ S E . e e e e D´finition 4.3 : Probl`me de Cauchy e e Soit F : R×R×I → R une fonction de trois variables o` I est un intervalle de R. Soit (t 0 ,y0 ) ∈ I×R. u On dit qu’une fonction y : I → R est solution du probl`me de Cauchy : e (C) F (y ,y,t) = 0 y(t0 ) = y0 si et seulement si : 1. y est une fonction d´rivable sur l’intervalle I ; e 2. ∀t ∈ I, F (y (t),y(t),t) = 0