Théorème de Cauchy-Lipschitz

TD d’Économie – Julien Grenet École Normale Supérieure Année 2007-2008 Vade mecum : Equations différentielles du premier ordre Cette annexe aux TD sur le modèle de Solow présente la méthode de résolution des équations linéaires du premier ordre et définit la notion d’état stationnaire. 1 1.1 Définitions Equations différentielles du premier ordre Une équation différentielle du premier ordre est une expression qui décrit une relation entre une fonction à une variable et sa dérivée première : y(t)

TF06_transitoire_Laplace.xmcd TF06 - Transitoire - Exercice Régime transitoire - transformée de Laplace Un solide semi-infini subit sur la face (x=0) une élévation de température proportionnelle au temps (T = k t). La température initiale est 0°C. Déterminer le profil de température par la méthode de la transformée de Laplace. Quelle est la température à 10 cm à l’intérieur après un temps de 2 mn ? On donne : k = 0,5°C/s et α = 0,4 cm²/s. Pour faire ce calcul on rappelle que si on connaît l’original

Chapitre 11 Chapitre 11. Équations différentielles Activités et applications 2. Équations du second ordre (STI2D/STL SPCL) 1. Équations du premier ordre Activité. Somme de deux solutions d’une équation différentielle linéaire Activité. Solutions d’une équation différentielle 1. g(x) = cos 2x, g’(x) = – 2 sin 2x, g”(x) = – 4 cos 2x. On a alors g”(x) + 4g(x) = – 4 cos 2x + 4 cos 2x = 0. La fonction est solution. 2. Même calcul avec h. 3. k”(x) = g”(x) + h”(x). Donc k”(x) + 4k(x) = g”(x) + h”(x)

´ ´ EQUATIONS DIFFERENTIELLES OLIVIER DEBARRE ` Table des matieres 1. Le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e 2. D´montrer le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e e 3. Appliquer le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e ´ 4. Equations diff´rentielles autonomes e 5. Stabilit´ des solutions e R´f´rences ee 1 3 8 11 14 17 ´ ` 1. Le theoreme de Cauchy–Lipschitz Une ´quation diff´rentielle (du premier ordre) s’´crit e e e (1) o` u f : I × Ω → Rn est une fonction continue, avec Ω ouvert (non vide) de Rn et I intervalle

. C B 2 @x1 @x2 @x2 2 C B D f (a) = B C ...... ........ ........ ........ C B C B ........ ....... ........ ........ C B 2 2 A @ @2f @ f @ f (a) (a) ........ (a) @x1 @xn @x2 @xn @x2n est appelée matrice hessienne de f en a. Théorème des fonctions implicites 3 Le théorème des fonctions implicites exprime qu’une courbe dé…nie implicitement par une équation du type f (x; y) = 0 peut être vue localement comme le graphe d’une fonction. Soient E, F, G des espaces de Banach, de classe C 1 . f9(x0 ; y0

), alors (E) est un système diérentiel du premier ordre à m fonctions inconnues y1 , . . . , ym :   y1 (t) = f1 (t, y1 (t), . . . ym (t))  . . (E) .   y (t) = f (t, y (t), . . . y (t)) m 1 m m 4 Problème de Cauchy : étant donné un point (t0 , y0 ) ∈ U , le problème de Cauchy consiste à trouver une solution y : I → Rm de (E) sur un intervalle I contenant t0 dans son intérieur, telle que y(t0 ) = y0 . Souvent, concrètement, la variable t représente le temps, et y = (y1 , . . . , ym ) est

dérivées partielles . . . 1.2 Le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Applications : interversion de limite et de dérivation . . . . . 1.2.3 Applications : dérivées partielles et dérivées . . . . . . . . . . 1.3 Théorème d’inversion locale et fonctions implicites . . . . . . . . . . 1.3.1 Théorème d’inversion globale . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Théorème d’inversion locale . . . .

. . . . . . . . 9 11 12 8 4 Équations diérentielles stochastiques Théorème d'existence et d'unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques propriétés des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Dépendance par rapport à la condition initiale . . . . . . . . . 4.2.2 Caractère markovien de la solution d'une équation diérentielle Peut-on survivre sans la condition de Lipschitz ? . . . . . . . . . . . . Stabilité stochastique . . . . . . . . . . . . . . .

variables . . . . 1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Eléments de correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Théorèmes généraux d’existence et unicité 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Théorème d’existence . . . . . . . . . . . . 2.3 Théorèmes d’unicité . . . . . . . . . . . . . 2.4 Théorèmes sur les solutions globales . . . . 2.5 Orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Eléments

formule close en un seul terme sans si. . .alors qui contienne tout.  1    ai−1 1  1   0 i = 1 et j = n i=j>1 . j=1 i=j+1 On On aura reconnu dans la quantication de l'énoncé la célèbre suite de Cauchy (et on a un point c'est tout. § Des ¦ suites de Cauchy. ¤ § ¥ ¦ ¤ I.S.14 ¥ beau faire, on ne peut pas l'écrire avec des histoires de limites, c'est une vraie dénition • p ε = 1, on a pour K1 : |up − uq | 1. Mais alors dans le cas particulier p = K1 , on