Théorème de Cauchy-Lipschitz

finie. e 13.1 Suites de Cauchy D´finition 63 e On appelle suite de Cauchy dans un espace vectoriel norm´ (E, . ), toute suite (xn ) valeurs dans E, v´rifiant e e la propri´t´ suivante: ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N tel que ∀p, q ≥ n0 on a: xp − xq < ε ee myismail.chez.com page Chapitre ´ 13 ESPACES VECTORIELS NORMES DE DIMENSION FINIE. 47 Mamouni My Ismail Proposition 49 Soit (xn ) une suite valeurs dans E, les propri´t´s suivantes sont ´quivalentes: ee e (xn ) est de Cauchy. ∀ε > 0, existsn0 ∈ N tel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Systèmes stochastiques 77 3.1 Introduction aux probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3 Le théorème central de la limite et les lois fortes des grands nombres 99 3.4 Espérances conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.5 Loi de Poisson et loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.6 La loi du Chi deux . .

Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. • Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 3.3 Droite numérique achevée Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nouvel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés −∞ et +∞ . On prolonge à R la relation

. . . . Théorème de Cantor-Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formule du crible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème chinois pour les groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . . . Inversion de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Morphismes de Sn dans × . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Critère de conjugaison des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Wilson

. . . . . . . . . . LE PROBLEME DE CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PRINCIPE GENERAL DES METHODES NUMERIQUES . . . PROPRIETES DES METHODES NUMERIQUES . . . . . . . . LES PRINCIPALES METHODES NUMERIQUES . . . . . . . . METHODES A UN PAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.7.1 Méthodes d'Euler explicite et implicite . . . . . . . . . . . III.7.2 Méthode d'Euler amélioré . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.7.3 Méthode d'Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . .

élémentaire 7.1 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Problèmes d’extrémums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Les théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites 7.5 Intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 33 34 34 34 35 Algèbre euclidienne et hermitienne 8

texte propose des exercices et des problèmes d'application à la fin de chaque chapitre. Cette troisième édition a été enrichie de nouveaux exemples et exercices et de compléments théoriques et pratiques : compor tement des suites itératives, théorème des fonctions implicites et ses conséquences géométriques, critère de maximalité des solutions d'équations différentielles, calcul des géodésiques d'une surface, flots de champ de vecteurs... Cet ouvrage est surtout destiné aux étudiants (licence

{Q (n) }n∈N construites e e selon (2.3.7), il existe une unique mesure de probabilit´ Q sur (E N , E ⊗N ) telle que Q (n) = e Q ◦ (π (n) )−1 pour tout n, c’est-`-dire que les Q (n) sont les distributions de dimension finie a de Q . ´ ` 2.4. LE THEOREME DE IONESCU–TULCEA Exemple 2.4.2. 17 1. Mesures produit: On se donne une suite {µn }n∈N de mesures de probabilit´ sur e (n) = µ ⊗ µ ⊗ · · · ⊗ µ la mesure l’espace mesurable (E, E). Soit, pour tout n, Q 0 1 n produit. C’est une mesure de la forme

condition sur α, β , fα,β est-elle d’ordre fini ? 21 [002992] [002993] Exercice 2994 Théorème de Lagrange Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. On définit une relation sur G par : ∀ x, y ∈ G, x ∼ y ⇐⇒ ∃ h ∈ H tel que x = hy. 1. Montrer que ∼ est une relation d’équivalence. Quelle est la classe de e ? 2. Soit a ∈ G. Montrer que a˙ est équipotent à H. 3. En déduire que Card H divise Card G (Théorème de Lagrange). [002994] Exercice 2995 Relation d’équivalence avec deux sous-groupes Soient

83 83 84 87 89 6 Mystification numérique 7 Petites histoires, anecdotes 7.1 Les histoires de VON NEUMANN . . . 7.2 ... Et les autres. . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 L’histoire de 2 + 2 = 5 . . . . . . . . . . . 7.4 La preuve ultime du Dernier Théorème de 8 Paradoxes 8.1 Les paradoxes de Zénon . . . . . . . 8.2 Le paradoxe des anniversaires . . . . 8.3 L’interrogation surprise . . . . . . . 8.4 La vie sur Ganymède . . . . . . . . . 8.5 2 = 1, ou 1/0 . . . . . . . . . . . . . 8.6 Le développement