Théorème des nombres premiers

Sommaire 1. Pré-requis 2. Produit scalaire de deux vecteurs 3. Synthèse de la partie 1 de la séquence 4. Exercices d’approfondissement 2 © Cned - Académie en ligne Séquence 5 – MA12 1 Pré-requis A Théorème de Pythagore 1. Théorème de Pythagore C Vous connaissez bien sûr ce théorème. Théorème Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si AB2 + AC2 = BC2. B B A Vecteurs et calcul vectoriel 1. Vecteurs Dans la séquence 1 nous avons vu. Définition Un vecteur est un « objet mathématique

L’estimateur T de θ est dit convergent en probabilité si : ∀ǫ > 0, n→+∞ lim P (|T − θ| < ǫ) = 1. Théorème 1 Tout estimateur sans biais ou asymptotiquement sans biais tel que limn→+∞ Var (T ) = 0 est convergent en probabilité vers θ. ǫ Preuve Utiliser l’implication |T − IE (T )| < 2 ⇒ |T − θ| < ǫ et l’inégalité de BienayméTchebicheff : ∀ǫ > 0, P (|T − IE (T )| < ε) Var(T ) . ǫ2 6 Théorème 2 Sous les hypothèses de régularité suivantes : H1 : Le support de la densité D = {x / f (x; θ) > 0}

des maths » atteignait très probablement le double. En école, j’ai aidé de nombreux élèves de collège et lycée via une société réputée de soutien scolaire. Après avoir vaguement été testé sur mon niveau (je me souviens de la question sur le fameux théorème de Pythagore, test un peu léger pour connaître l’aptitude d’une personne à aider un élève en Terminale S spé Maths… ), j’ai pu accompagner des jeunes de toute classe, niveau collège et surtout lycée, et les faire progresser en Mathématiques. À présent

essence qu'il pouvait dénoncer rationnement la façon, misérable, dont les hommes étaient alors contraints de travailler. Le texte étudié ici clôt le deuxième paragraphe « Le double caractère du travail représenté dans les marchandises » du premier chapitre du premier livre du Capital de Karl Marx. La marchandise étant au fondement de la société capitaliste, Marx s’est proposé de débuter son étude du capitalisme par l’analyse de celle-ci. La marchandise s’est alors révélée posséder un caractère double

b n =  ab  b b  III) RACINE CARRÉE Soit un réel positif a. Le nombre  a est le seul réel positif dont le carré vaut a. Propriétés : pour tous réels positifs a et b :  a = a si b≠ 0  a ×  b=  ab b b Attention, en général,  a   b≠  a  b et  a 2  b2 ≠ a b    a 2 =a IV) VALEUR ABSOLUE Soit x un réel. On note ∣x∣ , et on appelle valeur absolue de x , le réel défini par : ∣x∣ = Soit a un nombre réel. Pour tout réel x, Propriétés : si x a, ∣x − a∣=− x −a  =−x  a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 10 12 21 22 23 C Espaces vectoriels I Définitions et premiers exemples . . . . . . . . II Famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . III Dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Sommes directes et espaces supplémentaires V Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

du cours, on peut le diviser en trois parties principales : I. La continuité : Notions de base de la topologie générale. II. Différentiation. III. Eléments d’intégration. Les fonctions que nous allons étudier sont des fonctions « régulières ». Le premier degré de régularité, noté C 0 , est la continuité ; le degré suivant, noté C 1 , est la continue différentiabilité ; encore plus régulières sont les fonctions C 2 , C 3 , ..., puis C ∞ (« lisse »). Ces propriétés seront étudiées en détail dans les

est un polynôme du second degré. P(x)=x2−1 est un polynôme du second degré avec b=0 mais Q(x)=x−1 n'en est pas un car a n'est pas différent de zéro. (C'est un polynôme du premier degré-ou une fonction affine) P(x)=5(x−1)(3−2x) est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité. Théorème et définition Tout polynôme du second degré peut s'écrire sous la forme : P(x)=a(x−α)2+ β avec α=− b 2a et β=P(α) Cette expression s'appelle forme canonique du polynôme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4 5 8 9 2 Graphes planaires  formule d'Euler 3 Coloriages Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombre chromatique . . . . . . . . . . L'algorithme glouton . . . . . . . . . . Le polynôme chromatique d'un graphe Coloriages d'arêtes . . . . . . . . . . . Introduction aux problèmes extrémaux Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Généralités 1) Définition et exemples 2) Sous–espaces vectoriels 3) Sous–espace vectoriel engendré par une partie 4) Dépendance et indépendance linéaire. 5) Bases 6) Relation de liaison II : Espace de dimension finie 1) Théorème fondamental 2) Théorème de la dimension des bases 3) Théorème de la base incomplète 4) Dimension d'un sous–espace vectoriel 5) Rang d'un système de vecteurs III : Somme de sous–espaces vectoriels 1) Somme de deux sous–espaces vectoriels 2) Somme directe de deux sous–espaces vectoriels