Théorème des nombres premiers

2010-2011 Nombres Premiers Théorème de Dirichlet (1805-1859) Nous avons démontré qu'il existe une innité de nombres premiers (preuve due à Euclide). Le théorème de Dirichlet est le suivant : Si a et b sont deux nombres entiers premiers entre eux, avec a > 0, alors il existe une innité de nombres premiers de la forme an + b (n entier naturel). La preuve en est très dicile, les deux cas particuliers traités ci-dessous sont toutefois accessibles en TS. 1. Montrer que tout nombre premier > 2 est de

...................................6 A. Premier test : à propos du PGCD....................................................... 6 B. Second test : raisonnements en arithmétique .................................. 13 2. Erreurs classiques.........................................................................................15 A. Erreurs liées à un problème de langage........................................... 15 B. Erreurs liées au statut des nombres..........................................

. . . . . . . . . 3 Systèmes stochastiques 77 3.1 Introduction aux probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3 Le théorème central de la limite et les lois fortes des grands nombres 99 3.4 Espérances conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.5 Loi de Poisson et loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.6 La loi du Chi deux . . . . . . . . . . . . . . . . .

On a donc le résultat suivant. Théorème 26.1 Une série à termes positifs un est convergente si, et seulement si, la suite de ses sommes partielles est majorée. En cas de divergence, on a lim Sn = +∞. n→+∞ Dans le cas des séries à termes positifs, on écrira un < +∞ pour signifier que cette dernière converge. Cette notation étant justifiée par les considérations précédentes. En cas de divergence, on a un = +∞. 26.2 Les séries de Riemann Théorème 26.2 Soit α un réel. La série de Riemann

propose de faire 90 ballotins. Mais ni 3 003 ni 3 731 ne finissent par 0. Donc ils ne peuvent pas être des multiples de 90. Le partage en 90 ballotins laisse des restes donc ne convient pas. b) Ils veulent faire le maximum de ballotins. Donc le nombre de ballotins sera le PGCD de 3 003 et 3 731. J’utilise la méthode de Monsieur Euclide. 3 731 = 3 003 × 1 + 728 3 003 = 728 × 4 + 91 728 = 91 × 8 + 0 PGCD(3 003; 3 731) = 91 Donc Emma et Arthur peuvent faire au maximum 91 ballotins équitablement

3. Calcul des Déplacements •Hypothèses •Efforts externes Les structures étudiées sont : Mais elles subissent de petits déplacements et des petites déformations Tous les calculs seront donc réalisés sur la structure non déformée Calcul au premier ordre Déformables •Liaisons •PFS extérieures Elastiques linéaires Proportionnalité et réversibilité entre cause et effet !F • Hyperstaticité d On est donc dans un domaine restreint du fonctionnement des matériaux Les efforts

[pic] associe le n-ième nombre premier est stationnaire à partir du rang 2. - La suite [pic] est égale à la suite u. Suites convergentes A) Définition Soit [pic]. On dit que la suite [pic] est convergente lorsqu’il existe [pic] tel que [pic] Remarque : [pic] « Aussi petit que soit [pic] strictement positif, il existe un rang à partir duquel les termes de la suite [pic] sont dans l’intervalle [pic] ». Théorème : Soit [pic],

on peut savoir si le trinôme peut se factoriser ou non. Cette forme est obtenue à partir d’une "astuce" qui consiste à rajouter un terme puis à l’oter de façon à obtenir le début d’un carré parfait. Exemple 1 : Soit P1 (x) = x2 + 2x − 8 Les deux premiers termes sont x2 + 2x qui est le début de (x + 1)2 = x2 + 2x + 1. On ajoute 1 puis on le soustrait, ce qui donne : P1 (x) = x2 + 2x + 1 − 1 − 8 = (x + 1)2 − 9 forme canonique de P1 (x) on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =

résoudre une équation comportant des carrés, on revient à une écriture de la forme . Deux nombres opposés ont le même carré, donc :  équivaut à  ou . Exemple Résoudre  revient à écrire : x −1 = 3 ou x −1 = −3, soit x = 4 ou x = −2, d'où S = {−2 ; 4}. • Pour résoudre une inéquation comportant des carrés, on transpose tous les termes dans un seul membre et on factorise, si possible, en un produit de facteurs du premier degré. On peut alors en déduire l'ensemble des solutions à l'aide d'un tableau de

. . Méthode de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas des matrices non négatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La méthode du gradient conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le théorème de Perron-Frobenius et ses conséquences . . . . . . . . . . . . VI Le calcul de valeurs propres et de vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1 VI.2 VI.3 VI.4 Introduction : pourquoi calculer des valeurs propres ? . . . . .