Théorème des valeurs intermédiaires

Correction [000739] 1 2 Théorème de Rolle et accroissements finis Exercice 5 Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles. Indication Correction [000717] Exercice 6 Montrer que le polynôme Pn défini par Pn (t) = Indication Correction 1 − t2 n (n) est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1]. [000715] Exercice 7 Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction

Vidéo [000739] Théorème de Rolle et accroissements finis Exercice 5 Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles. Indication Correction Vidéo [000717] Exercice 6 Montrer que le polynôme Pn défini par Pn (t) = 1 − t2 n (n) est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1]. Indication Correction Vidéo [000715] Exercice 7 Dans l’application du théorème des accroissements

Correction Vidéo [000739] 1 2 Théorème de Rolle et accroissements finis Exercice 5 Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles. Indication Correction Vidéo Exercice 6 Montrer que le polynôme Pn défini par Pn (t) = 1 − t2 n (n) [000717] est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1]. Indication Correction Vidéo Exercice 7 Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction f

 0∈]−2;+∞[. D’après le théorème de la bijection (ou le corollaire des valeurs intermédiaires), l’équation f′(x)=0 possède une unique solution x0.   4. a. On en déduit donc que : – sur [0;x0] ,f′(x)≤0 donc f est décroissante – sur [x0;+∞[, f′(x)≥0 donc f est croissante   f(0)=−2. Or f est décroissante sur [0,x0]. Par conséquent, pour tout x∈[0,x0], f(x)0   Sur l’intervalle [x0;+∞[, f est continue et strictement croissante. f(x0)0. 0∈[f(x0);f(2)] D’après le théorème de la bijection (ou corollaire

d’abscisse 0, cette droite est parallèle à l’axe des abscisses son coefficient directeur est 0 et le point A est sur cette droite donc son ordonnée est -1. f(0) = -1 donc d = -1 Or la tangente à la courbe au point A(0 ;-1) a pour coefficient directeur la valeur du nombre dérivé en ce point donc f ’(0) = 0 de plus f’(x) =  3?? ! + 2?? + ?? donc ? ! 0 = ?. On en déduit que c = 0 ? ? = ??? + ??? − ?  ?? ?! ? = ???? + ???. Troisième renseignement : ! La courbe admet au point B d’abscisse ! donc d’ordonnée

probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Triangle de Pascal - Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . 26 Ce document a été réalisé à l’aide de LATEX2", un lociciel libre. 1 1 Analyse 1.1 Limites et ordre Théorème 1 Limites et ordre 1. Théorème des « Gendarmes » Si, pour x « assez voisin de a »(a fini ou infini), on a : u(x) 6 f (x) 6 v(x) et si u et v ont la même limite l en a, alors : lim x!a f (x) = l 2. Cas d’une limite infinie Si, pour x « assez voisin de a »on

limite donc n’est pas convergente. La composée d’une fonction paire suivie d’une fonction impaire est une fonction paire. Vrai : Si u est une fonction paire sur I à valeur dans J alors : pour tout x de I , -x {draw:frame} {draw:frame} I et u(-x) = u(x) Si v est une fonction impaire sur J à valeur dans K alors pour tout x de J, -x {draw:frame} {draw:frame} J et v(-x) = -v(x) Ainsi si pour tout x de I, -x {draw:frame} {draw:frame} I ; vo u(-x) = vo u(x) , v o u est paire.

comme produit et somme de fonctions continues, de plus g est strictement croissante sur [0; +∞[ à valeurs dans [1; +∞[. Or 0 ∈ [1; +∞[. Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, g (x) = 0 admet une unique solution α dans [0; +∞[, telle que g (α) = 0 ⇔ αe α = 1. g (0, 567) ≈ −3×10−4 < 0 et g (0, 56) ≈ 2, 37×10−3 > 0 donc 0, 567 ≤ α ≤ 0, 568. c. Préciser le signe de g (x) selon les valeurs de x. Comme g est continue et strictement croissante sur [0; +∞[ : g (x) < 0 si x ∈ [0; α[ et g (x)

sur un intervalle I contenant a est dérivable en a s'il existe un réel A tel que : pour tout réel h tel que a + h  I : f(a + h) = f(a) + Ah + hφ(h) avec limh→0 φ(h)=0 Le nombre A s'appelle nombre dérivé de f en a ; on le note f' (a). 2) Théorème : Propriété Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point A d'abscisse a. Équation de la tangente : y = f(a) + f' (a) (x – a) B] Fonction dérivée : Définition On dit qu'une fonction

But du TP : On cherche numériquement le minimum d’une fonction f unimodale définie sur l’intervalle [a, b]. Pour cela, on va utiliser les méthodes de dichotomie sans et avec dérivées et la méthode de Newton-Raphson et et les appliquer sur quelques fonctions. Question 1 : ➢ Méthode de dichotomie sans dérivées ; Il s’agit de considérer un intervalle plus petit [a’1, b’1] tel que a’1= (1-ρ1)a0+ ρ1b0 et b’1= ρ1a0+(1- ρ1)b0 ou 0 < ρ1=-1définie par F-1=0,F0=1, Fk+1=Fk+Fk-1 Montrons que