Théorème des valeurs intermédiaires

réel.) Remarque : on peut avoir plusieurs domaines de fréquences (haute fréquence, basse fréquence et intermédiaire). Filtres du 1er ordre A) Décomposition en série de Fourier Soit F de période T (pulsation [pic]). Alors, d’après le théorème de Fourier : [pic] On a : [pic] Notation compacte : [pic] ([pic]) Terme 0 : valeur moyenne Terme n : harmonique de rang n de la décomposition de Fourier. Exemple : le

Résumé Limites Continuité Dérivabilité TTP Les Résumés de Tonton Paul I. Limites, continuité, dérivabilité A) Continuité et limites 1°/ Définitions Définition 1 : Soient f une fonction définie sur I à valeurs dans ℜ et a un point de l’intervalle I ; On dira que f est continue en a si et seulement si : pour tout ε > 0 il existe un η > 0 tel que x - a ≤ η implique f ( x ) − f (a ) ≤ ε Toutes les fonctions usuelles, sauf la fonction partie entière sont continues là où elles sont définies. lq Définition

s’apercevoir que d’un coté on calcule Hn et de l’autre les termes s’éliminent presque tous deux à deux. 3. La limite est +∞. 4. Calculer un+1 − un . 5. C’est le théorème de Bolzano-Weierstrass. Indication pour l’exercice 7 Pour la première question : attention on ne demande pas de calculer α ! L’existence vient du théorème des valeurs intermédiaires. L’unicité vient du fait que la fonction est strictement croissante. Pour la dernière question : il faut d’une part montrer que (xn ) converge et on note sa

¹ 0 et ¦(0) = 0 Montrer que : 1. ¦ est continue en 0. 2. ¦ est dérivable en 0. 3. ¦' n'est pas continue en 0. Exercice 4 Un petit théorème de point fixe Soit ¦ une fonction continue et définie sur l'intervalle [0 ; 1] et à valeurs dans l'intervalle [0 ; 1]. Démontrer que ¦ admet (au moins) un point fixe dans [0 ; 1]. Exercice 5 Où l'on applique le théorème de bijection à la dérivée Démontrer que l'équation x4 + x3 - x + 1 = 0 n'a pas de solutions sur . Exercice 6 Une limite classique

et ¦(0) = 0 è xø Montrer que : 1. ¦ est continue en 0. 2. ¦ est dérivable en 0. 3. ¦' n'est pas continue en 0. Exercice 4 Un petit théorème de point fixe Soit ¦ une fonction continue et définie sur l'intervalle [0 ; 1] et à valeurs dans l'intervalle [0 ; 1]. Démontrer que ¦ admet (au moins) un point fixe dans [0 ; 1]. Exercice 5 Où l'on applique le théorème de bijection à la dérivée Démontrer que l'équation x4 + x3 - x + 1 = 0 n'a pas de solutions sur . Exercice 6 Une limite classique

f admet une limite en +∞ dont on précisera la valeur. Exercice 11. Soit f une fonction décroissante sur ]0; +∞[ telle que : lim f (x) = 0. x→+∞ Démontrer que, pour tout x ∈ R+ on a f (x) ≥ 0. Exercice 19. Déterminer le nombre de solutions non nulles de chacune des équations suivantes et en donner un encadrement d’amplitude 10−2 . 2. x2 = sin x Exercice 21. Soit f une fonction continue et définie sur l’intervalle [0; 1] et à valeurs dans l’intervalle [0; 1]. Démontrer que f admet

dont l’aire est égale à l’aire du rectangle ABCD. Justifier la dernière affirmation du texte. Les solutions proposées par deux élèves Elève 1 : Je fais une figure avec 4 cm et 7 cm et je vais démontrer que l’aire du carré vaut 28 cm2. Avec le théorème de Pythagore dans le triangle BAF j’ai : BF 2 = AB 2 + AF 2 = 49 + 4 Donc : BF 2 = 53 , BF = 53 = 7,28 . Dans le triangle rectangle EBG, j’ai : GB 2 = EB 2 + EG 2 , 7,28 2 = 25 + EG 2 . J’obtiens EG = 5,29 donc l’aire du carré est 27,98. Les deux

croiseront la fonction que max 1 fois 2.5.2 Fonction surjective Chaque y B est l’image d’au moins un x A Graphiquement : Si on trace des lignes horizontales passant par n’importe quel point de B, on croise au moins 1 fois la fonction Ex : fonction valeur abs 2.5.3 Fonction bijective A la fois surjective et injective 2.6 Composition de fonctions Soit 2 fonctions : f : A →B et g : B → C Alors 2.6.1 Commutativité: Pas commutative Ex : 2.6.2 Associativité Associatif (on peut regrouper les

politique monétaire poursuit quatre objectifs finaux qui sont la croissance économique, le plein-emploi, la stabilité des prix et l'équilibre de la balance des paiements. » Et d’autre part, que «  Il faut retenir quelques uns de ces objectifs intermédiaires en matière de politique monétaire : - La maîtrise de la croissance de la masse monétaire constitue l'un des objectifs privilégiés des monétaristes. Il faut que la croissance de la masse monétaire soit égale au taux de croissance de l'économie

courbes planes  L’ordre sur IR et ses propriétés : Borne supérieure et borne inférieure. Les suites réelles, critères de convergence. Théorème de Bolzano-Weiestrass. Limites d’une fonction numérique à variable réelle. Notion de continuité. Théorème des valeurs intermédiaires. Image d’un segment par une fonction continue. Dérivabilité. Théorème de Rolle et théorème des accroissements finis. Applications : Fonctions trigonométriques, fonctions hyperboliques et fonctions réciproques. Formule de Taylor