Théorème du rang

Méthode de dichotomie (ou de la bissection). Méthode de Newton. . . . . . . . . . . . . . . Méthode de la sécante. . . . . . . . . . . . . . Méthode de la corde. . . . . . . . . . . . . . . Méthode de point xe. . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Le théorème du point xe. . . . . . . . 3.5.2 Point xes attractifs et répulsifs. . . . Encore à propos de la méthode de Newton. . Le cas des systèmes. . . . . . . . . . . . . . . 4 Approximation polynômiale. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Méthode d'interpolation

(initialisation). Hérédité : supposons que a2p = 1 6 p 1 et calculons a2p+2 = a2p 6 1 1 p 1 p+1 × = . La formule est donc vraie au rang p + 1. La récur6 6 6 rence est établie. D’autre part par récurrence immédiate : a1 = a3 = · · · = a2p+1 = 0. 1 Il suit que b 2p = a2p−1 = 0 quel que soit p. 3 1 1 1 p Calculons b 2p+1 = a2p = . 3 3 6 1 n 3. Pour (an ) : les termes de rang impair sont nuls, et on sait que lim = 0. n→+∞ 6 Donc lim an = 0. = n→+∞ Pour la même raison lim b n = 0. n→+∞ Or c n = 1 − an

dans cette fenêtre sont rangés par ordre croissant. Il faut trouver enfin le rendement qui correspond au quantile désiré. Par exemple, pour une fenêtre de 500 observations, pour une position longue7 sur l’indice et une probabilité de risque de 5%, le rang correspondant est égal au nombre d’observations soit 500 multiplié par 5%, c'est-à-dire 25 (la VaR correspond au 25ème plus petit rendement). Pour le même intervalle de confiance et pour une position courte sur l’indice, le rang correspondant devient

5 Exercice 1.2.4 a) Donner les huit premiers nombres pentagonaux et donner une expression pour le nième nombre pentagonal. P1 P2 P3 P4 P5 b) Vérifier que tout nombre pentagonal est égal à son côté augmenté de trois fois le triangulaire de rang précédent, c’est-à-dire Pn = n + Tn!1 (voir figure ci-contre). c) Vérifier le lien entre les nombres pentagonaux et triangulaires : 3! Pn = T3!n"1 1.3 La relation de divisibilité Préambule. Les nombres a = 2360 – 1 et b = 21110 + 1 Est-il vrai que

compris. Apprendre « par cœur » n’est pas suffisant, même si c’est nécessaire pour certaines parties comme les théorèmes (math), lois (physique chimie), schémas (SVT)….: il faut savoir ensuite appliquer vos connaissances dans différentes situations. Faire les exercices qui vous permettent de faire cette application. - Revoir les contrôles précédents : si vous avez eu une mauvaise note, ne pas ranger votre copie en vous disant « c’est raté, n’en parlons plus » … vous devez comprendre pourquoi c’est raté

centrages, décorrélations et homoscédasticités des erˆ ˆ reurs εi du modèle, on peut déjà donner certaines propriétés des estimateurs β1 et β2 des moindres carrés. Arnaud Guyader - Rennes 2 Régression 1.2. Moindres Carrés Ordinaires 5 Théorème 1.1 (Estimateurs sans biais) ˆ ˆ β1 et β2 sont des estimateurs sans biais de β1 et β2 . ˆ Preuve. Partons de l’écriture (1.3) pour β2 : ˆ β2 = β2 + (xi − x)εi ¯ . (xi − x)2 ¯ Dans cette expression, seuls les bruits εi sont aléatoires

le nombre S de sommets, le nombre A d’arêtes et le nombre F de faces d’un polygones régulier ? Après plusieurs essais, on peut arriver à la conclusion qu’il semble que S - A + F = 2. C’est d’abord une conjecture, faite par Euler. Pour en faire un théorème, il convient d’en faire la démonstration. Mais, si on réfléchit comme le maître de Preuves et réfutations d’abord on ne dispose que d’une preuve : il y a des conjectures cachées dans la preuve, contre lesquelles on peut avancer des contre-exemples

égyptien avec beaucoup d’idée. Il émet certaines idées : 1/ Le monde est fait d’eau 2/la terre flotte sur l’eau Etc.…Il a eu beaucoup d’autres explications pour de nombreux phénomènes . 3/en géométrie : -théorème de Thalès (cf. babylonien) La découverte de ce fameux théorème lui servit, dit-on à calculer la hauteur des pyramides en utilisant la proportionnalité entre leurs hauteurs et celle d'un bâton planté verticalement : Si trois droites parallèles rencontrent deux droites (d) et (d')

50 = 2 ; u1 = 7 et 21 + 51 = 7 donc la propriété est vraie pour n = 1. 2. Supposons que, pour un entier n fixé ജ 1, la propriété Pn soit vérifiée, c’est-à-dire que pour tout entier k ഛ n, uk = 2 k + 5k et montrons que la propriété est vraie au rang n+1. Il faut donc montrer que un +1 = 2 n +1 + 5n +1. On a : un +1 = 7un - 10un -1 donc ) ( donc A(1, k + 1) = k + 2 + 1 = k + 3. Conclusion : la propriété est vraie pour n = 0 et est héréditaire donc, pour n ജ 0, A(1, n) = n + 2. Conjecture

ouvert n Æ+» contenant  contient tous les termes un à partir d’un certain rang. 45 ˘1 3È b)  lim un = 1 et ˙ ; Í contient 1. Donc à partir d’un n Æ+» ˚2 2Î certain rang, tous les termes de la suite u sont dans ˘1 3È l’intervalle ˙ ; Í . ˚2 2Î 3.  Activités d’approche • Activité 1 1  a)  A fortiori, à partir d’un certain rang, tous les termes de 1 la suite u sont strictement supérieur à . 2 n Æ+» D’après un théorème de comparaison, lim vn = + » n Æ+» 2n (1 + 2) = 3 ¥ 5 a) un = La suite