Théorème du rang

complétée(s) par les chefs d’établissements des formations BAC + 2 (et supérieures à BAC + 2), sous enveloppe cachetée au tampon de l’établissement Une photocopie des bulletins trimestriels des formations BAC + 2 (et supérieures à BAC + 2) indiquant le rang de l’élève dans sa classe La copie du ou des diplômes BAC + 2 déjà obtenus Une lettre de motivation manuscrite par laquelle vous nous indiquerez les raisons de votre choix pour cette formation en alternance Un Curriculum Vitae Une photocopie de

convergence, divergence) et celle des aspects quantitatifs (majoration, encadrement, etc.). On soulignera l'intérêt des suites, tant du point de vue pratique (modélisation de phénomènes discrets) que théorique (approximation de nombres réels). Les théorèmes sont énoncés mais leurs démonstrations ne sont pas exigibles ; ils sont illustrés par de nombreux exemples et applications. On présentera des exemples de suites issus de situations économiques ou fonancières. Suites dans R Suite majorée, minorée

d’un contre-exemple et recherches complémentaires....................................................................................... 37 Partie 3 - Des algorithmes en arithmétique .......................................................41 1. Ranger n nombres dans l’ordre croissant .....................................................42 2. Comparer des nombres ................................................................................43 A. Comparer deux entiers naturels en numération décimale

fonctions Preuve du caractère C ∞ d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dérivation, développements limités Approximation de la constante d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites numériques, théorème des accroissements finis Une construction de la fonction exponentielle népérienne . . . . . . . . . . . . . . . Dérivation, récurrence Arithmétique, dénombrement 43 44 Groupes à 2, 3, 4 éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−b + 12345679(a − 9b) = 12345679a − 111111112b. Correction de l’exercice 11 En divisant par 45 (qui est le pgcd de 1665, 1035, 45) nous obtenons l’équation équivalente : 37x + 23y = 1 (E) Comme le pgcd de 37 et 23 est 1, alors d’après le théorème de Bézout cette équation (E) a des solutions. L’algorithme d’Euclide pour le calcul du pgcd de 37 et 23 fourni les coefficients de Bézout : 37 × 5 + 23 × (−8) = 1. Une solution particulière de (E) est donc (x0 , y0 ) = (5, −8). Nous allons maintenant

ramène bien entendu à la notion de distance intuitive. Mais si par exemple on travaille avec le produit scalaire (x, y), (x , y ) −→ 3xx + xy + yx + yy , les choses deviennent beaucoup moins intuitives. √ Par exemple, ı = 3 et  = 1. Remarque Théorème La norme est homogène ; cela signifie que : ∀x ∈ E, λx = |λ|. x . ∀λ ∈ R, (Inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire) Soient E un espace préhilbertien réel et x, y, z ∈ E. ¬ ¬ ¬ ¬ x . y . (i) Inégalité de Cauchy-Schwarz

l'espace......................................................................................................63 a) Caractérisation du parallélisme.............................................................................................63 b) Théorèmes relatifs au parallélisme.......................................................................................64 Cours de mathématiques – Seconde : 3/65 Chapitre 1 – Vecteurs et translations I – Définitions et premières propriétés a) Rappels

nombres). Solution : Rang 1  6 chiffres corrects Rang 2  5 chiffres corrects + nombre complémentaire Rang 3  5 chiffres corrects Rang 4  4 chiffres corrects Rang 5  3 chiffres corrects Pour le Rang 1, nous avons une chance de trouver la bonne combinaison, c'est-à-dire 6 chiffres parmi 42 : P ( Rang1)  1 1 1    0.0000002 6 C42 42!  (42  6)! 6! 5245786 (le nombre qui se trouve sous la barre de fraction est donc le nombre de grilles totales possibles.) Pour le Rang 2 , nous avons du cocher

nombres). Solution : Rang 1  6 chiffres corrects Rang 2  5 chiffres corrects + nombre complémentaire Rang 3  5 chiffres corrects Rang 4  4 chiffres corrects Rang 5  3 chiffres corrects Pour le Rang 1, nous avons une chance de trouver la bonne combinaison, c'est-à-dire 6 chiffres parmi 42 : P ( Rang1)  1 1 1    0.0000002 6 C42 42!  (42  6)! 6! 5245786 (le nombre qui se trouve sous la barre de fraction est donc le nombre de grilles totales possibles.) Pour le Rang 2 , nous avons du cocher

Initialisation Pour n = 0, le postulat (P0 ) est vrai puisque l’on vient de montrer que : u0 − 1 = 2 − 1 = 1 > 0 est du signe de (−1)n = (−1)0 = 1 > 0. • Hérédité Supposons que pour n entier fixé, (Pn ) soit vérifié et montrons qu’alors il est aussi vrai au rang n + 1. – D’après la question 1c) : ∀n ∈ N, un+1 − 1 = −un + 1 2un + 1 – Or d’après les données initiales, pour tout entier naturel n, un > 0 et donc −un + 1 est du signe de 2un + 1 −un + 1. – On applique alors l’hypothèse de récurrence qui implique